分散 問題を英語で読んで下さる方

質問

A toy contains 3 new batteries, each of which gives a voltage which is normally distributed with mean 1.55 volts and standard deviation 0.04 volts.
The voltages of the batteries are independent.
The toy will only work if the total voltage is greater than 4.50 volts.

1)find the probability that the toy will work.
2)Find the probability that the average total voltage of the batteries of 15 toys chosen at random exceeds 4.68 volts.

模範解答があり１）は画像に載せた通りで問題ないのですが２）が理解出来なくて困っています。

2)の模範解答は
The average for one toy is 4.65, so for 15 toys the average is X ~ N [4.65, (0.0048/15)]～

と続いていくのですが　ここでvariance （分散 ）が何故 　0.0048/15　と１５で割るのかわかりません。私は　X ~ N （4.65, 0.0048）のままで計算すると思いました。
１５で割る理由を教えて頂けますか？

回答No.2

noname#212313 · ベストアンサー

分散σ^2は、m個のデータ{x1, x2, …, xm}があって、その平均がxだとすると、

σ^2=(1/m)Σ[m, i=1](x - xi)^2

というものですね。m個のデータに対してmで割っていることから分かるかと思いますが、データ1個についてのばらつきを示しています。

　問2では、オモチャ15個の平均について問うています。直感でいいですが、サンプルの数が増えるほど、母集団全体の平均に近くなりそうだということは分かると思います。そして、分散σ^2は1個当たりのばらつきなのでした。

　だとすると、15個平均に対してばらつき度合いを示す分散は、1個当たりの分散より小さくないと、推定がおかしくなるということになります。その推定用い得る適切な一つが、平均を出すのに用いたサンプル数で母集団の分散を割ってやることです。

　それが、お示しの問題で15で割っている理由です。(1)で既に3個について求めてあり、その結果を使っていますから、電池の数：15×3＝45で割るのではなく、オモチャの数の15をそのまま使っています。

　概念的、便宜的な説明で申し訳ありません。詳しくは統計学の教科書や、ネット検索などでお調べになると、しっかりした考え方や証明が見つかるかと思います。

お礼

詳しく説明して下さって有難うございます。
何となくわかります。
曖昧な書き方で申し訳ないですが本当に何となくわかってきました。

書いて下さった事をきちんと消化しながらアドバイス頂いた様にネット検索を続けます。

有難うございました。

回答No.1

f272

var[X]
= var[1/n Σx_i]
= (1/n)^2 Σvar[x_i]
= (1/n)^2 * nσ^2
=(1/n) σ^2

だいたい変数の平均が，それぞれの変数と同じだけ変動するのは常識的におかしいだろう。

お礼

ご回答有難うございます。

＞変数の平均が，それぞれの変数と同じだけ変動するのは常識的におかしい

これが私にはわからないのです。　
ご回答頂いてからネットでいろいろ調べているのですが、、、もどかしい限りです。