解法を

質問

さいころをｎ回(ｎ≧１)投げて、出た目の最小公倍数をLとするとき、次の確率を求めよ。
(1)２と３の少なくとも一方が1度も出ない確率
(2)Ｌが素数になる確率
(3)Ｌが出た目の1つに等しい確率

答えは
(1)2(5/6)^n-(2/3)^n (2)3{(1/3)^n-(1/6)^n} (3)(2/3)^n+2(1/3)^n-2(1/6)n

回答No.2

akinomyoga · ベストアンサー

(1)
P1-P3 を次のように定める。
　P1 := (2が出ない確率) = (全て2以外の数字の確率) = (5/6)^n,
　P2 := (3が出ない確率) = (5/6)^n (∵上と同様),
　P3 := (2も3も出ない確率) = (全て2,3 以外の数字の確率) = (4/6)^n = (2/3)^n.
ここで
　(2が出ないが3は出る確率) = (2が1度も出ないが、"2も3も出ない" 訳ではない確率) = P1-P3,
　(3が出ないが2は出る確率) = P2-P3 (∵上と同様).
　(2と3の少なくとも一方が1度も出ない確率)
　　= (2が出ないが3は出る確率) + (3が出ないが2は出る確率) + (2も3も出ない確率)
　　= P1-P3 + P2-P3 + P3 = P1+P2-P3 = 2(5/6)^n-(2/3)^n■.

(2)
1より大きい数(2～6)が2種類以上出ると L は合成数になる。
1より大きい数(2～6)が1種類出る時、その数を A (2～6のどれか) とすると、L=A になる。
L が素数になるのは L=A=2, 3, 5 の時だけである。

A を2,3,5のどれか一つに固定した時、
　(L=Aの確率)
　　= (1より大きい数としてAの1種類が出る確率)
　　= (1,A しか出ないが、全て1という訳ではない確率)
　　= (2/6)^n - (1/6)^n
　　= (1/3)^n - (1/6)^n
A=2, 3, 5 の3通りあるから、
　(Lが素数になる確率) = 3×((1/3)^n - (1/6)^n)■.

(3)
L=6 の時、目は 1, 2, 3, 6 からしか出ていない。
　(L=6が出た目の1つの確率)
　　= (全て1,2,3,6のどれかで、6が少なくとも1回出る確率)
　　= (全て1,2,3,6のどれかで、全て1,2,3という訳ではない確率)
　　= (4/6)^n - (3/6)^n = (2/3)^n - (1/2)^n.
L=2, 3, 5 の時、(2)で求めた様に、
　(L=Aが出た目の1つの確率) = (L=Aの確率) = (1/3)^n - (1/6)^n.
L=4 の時、目は 1, 2, 4 からしか出ていない。
　(L=4が出た目の1つの確率) = (3/6)^n - (2/6)^n = (1/2)^n - (1/3)^n.
L=1 の時、目は 1 しか出ていない。
　(L=1が出た目の1つの確率) = (1/6)^n.
よって、
　(Lが出た目の1つの確率)
　　= (2/3)^n - (1/2)^n + 3((1/3)^n - (1/6)^n) + (1/2)^n - (1/3)^n + (1/6)^n
　　= (2/3)^n + 2(1/3)^n - 2(1/6)^n■.

お礼

ありがとうございました。助かりました。

回答No.1

Tacosan

でなにがわからない?