高校数学の包含関係の問題です

質問

(問題番号2-22)

任意の実数xに対して実数値を定める関数f(x)が与えられている

条件：f(x)=xをみたすxの集合をM,

条件;f(f(x))=xをみたすxの集合をNとする

(1)M∈Nであることを示せ　(=は包含関係の含むを表す記号として見てください、pC上で書き方分からないです

解説はx∈Mならばｆ(x)=xであるから　f(f(x))=f(x)=x　よってx∈Nであり、したがってM⊆Nとあるのですが
x∈Mならばｆ(x)=xは分かるのですがf(f(x))=f(x)=x　よってx∈Nであり、したがってM⊆Nの所が何故そう言えるのか分かりません

回答No.8

stomachman

ANo.3へのコメントについてです。

> f(f(x)) = xであることが分かります←ここまでは分かります、この後の2番目の条件によってx∈Nに何で繋がるのかわかりません

「2番目の条件」というのは、ご質問にある

条件;f(f(x))=xをみたすxの集合をNとする


のことで、これは、「f(f(x))=xを満たすようなどんなxもNの要素であり、かつ、Nの要素であるようなどんなxもf(f(x))=xを満たす」という意味です。つまり、そういう性質を持つ集合をNと名付けるぞ、ということです。

> NにMを満たすxの式f(x)=xを代入したらMの式f(x)=xになりますが、

　全然違います。「NにMを満たすxの式f(x)=xを代入」などしていません。
　そもそも「集合Nに何か式を代入する」や、「Mの式f(x)=xになります」というのは全く意味をなさない言葉です。

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　どうやら、集合というものがお分かりでないようですね。

　NとMはそれぞれ別の集合です。どちらも、fさえ決めればそれぞれ一意的に決まってしまう集合です。そして、NもMも、数を要素とする集合です。（だから「Mの式」という言葉は何も意味しないのです。）

★ もしかして、『「NとMが別の集合だ」ということから、「Mの要素であるxは、Nの要素ではない」と言えるのだ』と、誤って考えていらっしゃるのではないでしょうか。
　正しくは、NとMが別の集合であるときでも「NとM両方の要素になっているx」があるかも知れない。また、「Nの要素であるがMの要素ではないx」があるかも知れない。「Mの要素であるがNの要素ではないx」があるかも知れない。
　たとえば A={1, 2, 3 }という集合と、B={1, 3, 7}という集合は、別の集合ですからA≠Bです。「AとB両方の要素になっているx」は1と3です。また、「Aの要素であるがBの要素でないx」は2ですし、「Bの要素であるがAの要素でないx」は7ですね。

　二つの集合P, Qが同じである (P=Q)のは、「x∈Pであるどんなxもx∈Qであり、かつ、x∈Qであるどんなxもx∈Pである」という場合であり、そしてこの場合だけです。
　なので「PとQ両方の要素になっているx」があったって、それだけじゃP=Qということにはなりません。
　また、二つの集合P, Qが別の集合である(P≠Q)からと言って、「PとQ両方の要素になっているx」がないとは限りません。

　また、P⊂Qであるのは「x∈Pであるどんなxもx∈Qである」という場合であり、そしてこの場合だけです。（従って、P=Qであるとき、P⊂QもQ⊂Pも成立っています。）

お礼

御返答有難うございます

補足

>そもそも「集合Nに何か式を代入する」や、「Mの式f(x)=xにな>ります」というのは全く意味をなさない言葉です。
Mを満たすようなxならばf(f(x))=xを満たし、こういうxはf(f(y))=y(yはすべての実数)に含まれるという事ですか？