「AならばB」についての息子からの疑問

質問

当方専門家ではないため、皆様の力をお借りしたいと思い質問させていただきます。
中学生の息子からの質問ですが、どう答えてあげたらよいでしょうか。

息子の言い分↓

「AならばB」が真である時、Aが十分条件、Bが必要条件だよね。
つまりたとえば「日本人ならばアジア人」だったら、「アジア人であることは、日本人である
ためには絶対に必要」だから、アジア人は必要条件と判定していいんだよね？
ようは必要条件て、前提条件みたいな感じなんでしょ？
でもさ、次の例はおかしくない？

「青酸カリを飲んだので死んだ」
これだと、Aにあたるのが「青酸カリを飲んだ」で、Bにあたるのが「死んだ」でしょ？
そうすると、「死んだ」が必要条件になるじゃん。でもさ、さっきみたいに言い換えてみると、
「死ぬことは、青酸カリを飲むためには絶対に必要」てなるよね。青酸カリを飲む前提として
死ぬことが必要って意味が分からないんだけど。逆じゃないの？死ぬ前提として青酸カリを
飲むことが必要なんじゃないの？
でもそうすると、AとBが入れ替わっちゃうからやっぱ僕が間違ってるよね。
ていうか、「AならばB」って言ったとき、原因はAで、結果はBで合ってるの？僕は最初
「Aが生じ、その後Bが生じた」っていう単なる時系列かと思ってたときがあったから、ずっと
Aが結果で、Bが原因を表しているのかと思ってた。そうじゃないとさっきの青酸カリの説明
が通じないんだもん。

あとさ、このまえ本で読んだんだけど、「青酸カリを飲んだので死んだ」は言い換えると、
「青酸カリを飲まなければ死ななかった」になるって書いてあったんだよ。
これっておかしくない？だって「AならばB」の対偶は「BでないならばAでない」なのに・・・
「青酸カリを飲んだので死んだ」と「青酸カリを飲まなければ死ななかった」は互いに裏の
関係だから同値じゃないじゃん！

もうわけわからない！

私もどうしていいかわからず困っております。わかる方お願いいたします。

回答No.6

中村 拓男（@tknakamuri）

これは事象/行為と状態の混同ですね。
ならばは状能の関係です。

わかりやすい例に、全共闘時代の有名な数学ジョークがあります。

学生が騒ぐと機動隊が出動する。

この対偶は(^^;

機動隊が出動しないと学生は騒がない。

動詞と動詞がつながっている文章構造から
わかるように、これは状能の関係ではなく、因果関係です。
なので、これは「ならば」ではなく対偶は作れません。

>「死ぬことは、青酸カリを飲むためには絶対に必要」

も行為に焦点をあてているためおかしくなっています。
命題が明確に現在の状態を表すように直しましょう。

回答No.5

ohkinokomushi

裏が同値でないのはお子さんの指摘通りです。

>「青酸カリを飲んだので死んだ」
これは過去の1現象なので、「AならばB」の論理に乗せるなら
「青酸カリを飲むならば、青酸カリによって死ぬ」
とすべきだと思います。これの真偽は微妙ですが、仮にこれを真とするならば対偶の
「青酸カリによって死なない(死んでいない)ならば、青酸カリを飲まない(飲んでいない)」
も真であることになります。

回答No.4

nnn27

十分条件・必要条件とは、集合が◎（二重丸）になっている時に

必要最低限にだけ絞り込んだ条件（外丸）を必要条件（B）
他の要素が入らないまで十分絞り込んだ条件（内丸）を十分条件（A）

と呼びます。絞り加減でどちらの条件がより広い要素かはわかると思います。

「アジア人である」の場合だと「日本人である」ことを十分に絞り込めてはいませんが最低限絞り込めています。
なので「『日本人ならばアジア人』は真である」とか「日本人なのでアジア人」と言えます。
時系列は関係なく今存在する事実を比べています。

さて問題の「青酸カリを飲んだので死んだ」です。
Aは「青酸カリを飲むこと」、Bは「死ぬこと」と時制を勝手に変えてしまったのが誤解の始まりでしょうか。
Aは「青酸カリを飲んだこと」、Bは「死んだこと」と正確にいきましょう。
「死ぬことは、青酸カリを飲むためには絶対に必要」と言ってしまってますが、数学の言い回しというのは絶対に変えてはいけません。

「死んだことは、青酸カリを飲んだことがあるための必要条件」
と正しく言ってから日常表現に変換すると
「（被害者が）死んだことは青酸カリを飲んだ事実があるための必要最低限の情報だ。だが十分な証拠ではない」
ということを意味しています。息子さんの表現とは大分意味合いが違ってきましたね。

次に逆・裏・対偶です。
対偶は「死んでいないならば青酸カリは飲んでいない」・・・そりゃそうでしょう。真
逆は「死んだならば青酸カリを飲んだ」・・・早とちりにも程があります。偽

裏は「青酸カリを飲んでいなければ死ななかった」・・・息子さんが読んだ本に登場してきた表現です。物語や会話表現ではセーフですが、論理的にはアウトなのがなんとなく分かるでしょう。
青酸カリを飲まずとも階段から落ちても死にはします。交通事故でも死にます。寿命でも死にます。
「そんな揚げ足取りを・・・」と思うかもしれませんが数学はそういうものです。

論理思考とは理屈だろうが屁理屈だろうが断言できる真実を追い求めることです。
しかし常日頃から論理思考を元に会話していたら何も言えなくなってしまうか気が狂ってしまいます。
例文が載っていた本が何なのか分かりませんが、普通の本なら話し言葉だから気にしなくて良いですし、数学教材なら捨ててしまってください。

結局はTPO、切り替えが大事なのですが落語「時そば」や「空想科学読本シリーズ」のように理屈を抜いたりねじ込んだりすると大抵面白い話になります。

回答No.3

麻野 なぎ（@asano_nagi）

No.2です。
ついでに、

> あとさ、このまえ本で読んだんだけど、「青酸カリを飲んだので死んだ」は言い換えると、
>「青酸カリを飲まなければ死ななかった」になるって書いてあったんだよ。

これは、「裏命題」で正解です。
もちろん、同値であるという保証はありません。

これは、日常会話と論理学の違いを意識する必要があります。

日常会話では、関心を持ったその場の条件だけで会話を成立させることがあります。
ある場面に限定すれば、この言い換えは正解です。

「彼は、カップについた青酸カリを飲んでしまったのですよ」
「ああ、青酸カリを飲まなければ、死ななかったのに」

こういう場面では、この事件にすべての関心が集中していますから、こういう言い換えは日常的にはあります。
が、当然、厳密な言い方をすれば、
「でも、ここで免れたとしても、一歩でも動けば、剣が飛んでくる仕掛けがありました」
という可能性まで考慮すれば、この言い換えは成立しないことになります。
※小説の場合は、こういう、「見落としがちな可能性」で、盛り上げることになるのですが。

なので、その本にあった「言い換え」は、場面限定の言い換えで、「同値なものに言い換えた」というわけではありません。

回答No.2

麻野 なぎ（@asano_nagi）

例は不穏当ですが、これは、とても単純なことなのです。

まず、

「日本人ならばアジア人」で、

必要条件：アジア人である
十分条件：日本人である

これがわかっているのですよね？

なら、

「青酸カリを飲んだならば、彼は死んだ」
は、全く同じで、

必要条件（後半）彼は死んだ
十分条件（前半）青酸カリを飲んだ

で、正解です。

意味するところは、「彼が死んでいないなら、彼は青酸カリを飲んでない」（実はこれが対偶です）

推理小説風に言えば、
「かれは青酸カリを飲みました」
「でも、彼は生きていますね？　青酸カリを飲んだら、亡くなっているはずですから、彼は（少なくとも）青酸カリを飲んでないのです」
ということで、「前半（青酸カリを飲んだ）」を＊証明するために必要なこと＊だから、「必要条件」です。

だから、
「死ぬことは、青酸カリを飲むためには絶対に必要」
という言い換えが間違いで、
「死んだという事実は、青酸カリを飲んだという事実を証明するためには必要」
です。

ＡならばＢは因果関係とは関係ないと思った方が良いです。
あくまでも、集合の包含関係
（青酸カリを飲んだ人の集合は、（いろいろな理由を含めて）亡くなった人の集合に含まれる）
です。

また、対偶は、上述したように、「彼が死んでいないなら、彼は青酸カリを飲んでない」になります。

回答No.1

kadakun

うろ覚えだけど・・・・
「日本人ならばアジア人」というのと「青酸カリを飲んだので死んだ」というのは、違うものです。
ある種の言明ははっきりと正しいかそうでないかが判定できる。
そのような言明を, 論理学では命題 と呼びます。
命題の中には 「A ならば B」 という形をしたものがあります。
命題 「A ならば B」 が真である時 A を B である為の十分条件といい, B を A であるための必要条件といいます。
息子さんはそれを挿しているのでしょうが、「青酸カリを飲んだので死んだ」というのは命題では
ありません。
何故なら、確実に正しいとは言えないから。
青酸カリを飲んだから死んだのは、結果論。致死量を飲まなければ死ぬことはありません。
つまり、命題では無いのです。
それを論じている時点で矛盾が発生していると思われます。
「青酸カリは劇薬」というのであれば、命題でしょう。

その辺は国語の先生に聞いた方が良いでしょうね。
数十年も前の事なので、違っていたらごめんなさい。