次の不等式の同値関係がわかりません。

質問

教えてください。

「0=<x=<2rならば常にx{(a^2-b^2)x-2(a^2r-ab^2)}>=0」
⇔︎「2(a^2r-ab^2)/a^2-b^2 =<0」

よく考えてみたのですが、よくわかりません。お願いします。

回答No.1

gohtraw

「0=<x=<2rならば常にx{(a^2-b^2)x-2(a^2r-ab^2)}>=0」を命題１、
「2(a^2r-ab^2)/a^2-b^2 =<0」を命題２とします。また、
a^2-b^2＝α、2(a^2r-ab^2)＝βとします。すると
x{(a^2-b^2)x-2(a^2r-ab^2)}>=0　は下記になります。
ｘ（αｘ－β）＞＝０

ｙ＝ｆ（ｘ）＝ｘ（αｘ－β）　という放物線とｘ軸の交点は
（０，０）および（β／α、０）　です。

よって、命題２の真偽は上記の交点（β／α、０）がどこに
あるかということに依存します。

ここで例えばα＜０かつβ／α＞０の場合、２ｒ＜＝β／α　
という条件のもとであれば命題１は成り立ちます。しかし上記
の前提からβ／α＞０なので、命題２は成り立ちません。

従って、二つの命題が同値であるためには、上記のような
ケースを排除できるような条件が必要です。例えばｒの値
についてとか、αの値（正負）とか。

何かそういう記載はありませんか？