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数学 高校入試の過去問

  • 質問No.8702223
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お礼率 100% (15/15)

問題の解き方が知りたいです
問題文の図はこの質問に画像で添付しました
よろしくお願いします


[問題]
大小2つのさいころを同時に1回投げ,大きいさいころの出た目の数をa,
小さいさいころの出た目の数をbとし,図のように,
Oを原点とする座標軸のかかれている平面上に
4点A(a,0),B(0,b),C(a,8),D(8,b)をとる。
四角形ABCDが線対称な図形となる確率を求めなさい

[答え]
5/9

[わからないところ]
線対称な図形となるのはa=bになるときなので(a,b)=(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(5,5),(6,6)の6通り
大小2つのサイコロを振った組み合わせは全部で6*6で36通りだから答えは6/36=1/6だと思うのですがなにか見落としや勘違いをしているのでしょうか・・・

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この問題は下記URLの前期選抜学力検査問題から出題された内容です
(画像アップロードがうまくいってなかったときはお手数ですがこちらを)
http://www.mie-c.ed.jp/koukou/boshu/h25/mondai.htm

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質問者が選んだベストアンサー

  • 回答No.3
  • ベストアンサー

ベストアンサー率 54% (1630/2966)

四角形の対称軸の候補は
・対角線
・相対する辺の中点を結ぶ直線
です。直感的には
AC
BD
y=x
y=-x+8
となりますが、きちんとやるには対象の定義に戻って
示す必要があります。

例えばACが対称軸になるには
ACとBDは直交する ・・・(1)
その交点はBDの中点である ・・・(2)
の両方が成り立つことが必要です。(1)は各点の定義から
常に成り立ちます。(2)についてはa=4のとき成り立ちます
(bの値は任意)。
BDが軸になる場合も同様です。

次にある直線に対してAとB CとDがそれぞれ対称な位置にある
場合(このときこの直線が四角形の対称軸です)は
ABの垂直二等分線とCDの垂直二等分線が一致する
ことが必要です。一致するためには傾きが等しくないといけません。
ABの傾きは-b/aなので、ABの垂線の傾きはa/b
CDの傾きは(8-b)/(a-8)なので垂線の傾きは(8-a)/(8-b)
この両者が等しいので
a/b=(8-a)/(8-b)
a(8-b)=b(8-a)
a=b
これで点AとBはそれぞれ(a,0)、(0,a)であることが判り、その垂直
二等分線はy=xです。一方点CとDはそれぞれ(a,8)、(8,a)で、その
中点((a+8)/2、(a+8)/2)もy=x上にあります。

以上より、a=bのとき
ABの垂直二等分線とCDの垂直二等分線は同じ傾きを持つ
CDの中点はABの垂直二等分線上にある
ことが示され、
ABの垂直二等分線とCDの垂直二等分線が一致し、それは直線y=x
であることが示されました。
y=-x+8が対称軸になる場合も同様です。
お礼コメント
ude_T

お礼率 100% (15/15)

軸の考え方がよくわかりました。ありがとうございます
BとC、AとDがそれぞれ対称になる軸も説明してもらったように計算してみたらa+b=8となってこれまでの条件を満たすaとbを洗い出したら5/9になりました
投稿日時:2014/08/03 13:10

その他の回答 (全2件)

  • 回答No.2

ベストアンサー率 54% (1630/2966)

a=bというのはABCDが直線y=xについて対称となる場合ですね。
そのほかにもACについてとか、BDについてとか、対称軸の取り方
が色々あると思いますよ。
お礼コメント
ude_T

お礼率 100% (15/15)

回答ありがとうございます
漏れがないような対称軸をとるにはどのように考えたらよいのでしょうか
CA、BD、y=x,y=-x+8,y=-x+4など思いつくのをやってみましたが、軸が四角形の角を通るとは限らないですよね
a,b,軸とパターンが多すぎて難しいです・・・
投稿日時:2014/08/03 10:39
  • 回答No.1

ベストアンサー率 23% (3656/15482)

ん, 見落してるね.

ちょうどその絵が, ほぼ線対称でしょ?
お礼コメント
ude_T

お礼率 100% (15/15)

回答ありがとうございます
a=4のときCA軸にするとbはどの値が出ても線対称になりますね→6通り
BDを軸にすると同様の考えて6通り
ここまでわかりました
残りの探し方がまだ理解できないです
投稿日時:2014/08/03 11:48
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