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大小2つのさいころの出た目の数による図形の線対称確率を求める高校入試の過去問
- 問題の解き方が知りたいです。問題文の図は質問に画像で添付されています。
- 問題は大小2つのさいころを同時に投げ、大きいさいころの出た目の数をa、小さいさいころの出た目の数をbとし、座標軸のかかれた平面上に4点A(a,0),B(0,b),C(a,8),D(8,b)をとる四角形ＡＢＣＤが線対称な図形となる確率を求めるものです。
- 線対称な図形となるのはa=bになるときなので(a,b)=(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(5,5),(6,6)の６通り。大小２つのサイコロを振った組み合わせは全部で６×６で36通りです。したがって、答えは６/３６=1/６となります。
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四角形の対称軸の候補は ・対角線 ・相対する辺の中点を結ぶ直線 です。直感的には ＡＣ ＢＤ ｙ＝ｘ ｙ＝－ｘ＋８ となりますが、きちんとやるには対象の定義に戻って 示す必要があります。 例えばＡＣが対称軸になるには ＡＣとＢＤは直交する ・・・（１） その交点はＢＤの中点である ・・・（２） の両方が成り立つことが必要です。（１）は各点の定義から 常に成り立ちます。（２）についてはａ＝４のとき成り立ちます （ｂの値は任意）。 ＢＤが軸になる場合も同様です。 次にある直線に対してＡとＢ ＣとＤがそれぞれ対称な位置にある 場合（このときこの直線が四角形の対称軸です）は ＡＢの垂直二等分線とＣＤの垂直二等分線が一致する ことが必要です。一致するためには傾きが等しくないといけません。 ＡＢの傾きは－ｂ／ａなので、ＡＢの垂線の傾きはａ／ｂ ＣＤの傾きは（８－ｂ）／（ａ－８）なので垂線の傾きは（８－ａ）／（８－ｂ） この両者が等しいので ａ／ｂ＝（８－ａ）／（８－ｂ） ａ（８－ｂ）＝ｂ（８－ａ） ａ＝ｂ これで点ＡとＢはそれぞれ（ａ，０）、（０，ａ）であることが判り、その垂直 二等分線はｙ＝ｘです。一方点ＣとＤはそれぞれ（ａ，８）、（８，ａ）で、その 中点（（ａ＋８）／２、（ａ＋８）／２）もｙ＝ｘ上にあります。 以上より、ａ＝ｂのとき ＡＢの垂直二等分線とＣＤの垂直二等分線は同じ傾きを持つ ＣＤの中点はＡＢの垂直二等分線上にある ことが示され、 ＡＢの垂直二等分線とＣＤの垂直二等分線が一致し、それは直線ｙ＝ｘ であることが示されました。 ｙ＝－ｘ＋８が対称軸になる場合も同様です。
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- gohtraw
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ａ＝ｂというのはＡＢＣＤが直線ｙ＝ｘについて対称となる場合ですね。 そのほかにもＡＣについてとか、ＢＤについてとか、対称軸の取り方 が色々あると思いますよ。
お礼
回答ありがとうございます 漏れがないような対称軸をとるにはどのように考えたらよいのでしょうか ＣＡ、ＢＤ、y=x,y=-x+8,y=-x+4など思いつくのをやってみましたが、軸が四角形の角を通るとは限らないですよね a,b,軸とパターンが多すぎて難しいです・・・
- Tacosan
- ベストアンサー率23% (3656/15482)
ん, 見落してるね. ちょうどその絵が, ほぼ線対称でしょ?
お礼
回答ありがとうございます a=4のときCA軸にするとbはどの値が出ても線対称になりますね→６通り BDを軸にすると同様の考えて６通り ここまでわかりました 残りの探し方がまだ理解できないです
お礼
軸の考え方がよくわかりました。ありがとうございます ＢとＣ、ＡとＤがそれぞれ対称になる軸も説明してもらったように計算してみたらa+b=8となってこれまでの条件を満たすaとbを洗い出したら5/9になりました