• ベストアンサー

積分

問題）Find the area under the graph of y = e^(2x) from x = 0 to x = 1 　∫[1,0] e^(2x) dx という式を立てるまでは分かるのですが　∫　e^(2x) dx をどうやって解いたらいいのか分からなくて困っています。 本には½ e^(2x)　+ k　となっています。 ½ e^(2x)　を微分したらe^(2x) になるのはわかるのですがその逆が出来ないです。 ∫　e^(2x) dx のやり方を教えて頂けますか？

質問者が選んだベストアンサー

  • ベストアンサー
  • info222_
  • ベストアンサー率61% (1053/1707)
回答No.1

定積分の上限と下限の描き方が逆です。[from, to]、[下限,上限]の順で書くようにしてください。 [考え方1]　積分公式として憶える。 　F(x)=∫f(x)dxのとき ∫f(ax)dx=(1/a)F(ax)+k (kは任意の積分定数) …(※) 本のやり方です。 　F(x)=∫f(x)dx=∫e^x dx=e^x なので公式(※)より 　∫[0,1] f(2x) dx =[(1/2)F(2x)][0,1]=[(1/2)e^(2x)][0,1] 　=(1/2)(e^2-e^0)=(e^2-1)/2 [考え方2] 置換積分法を使う。 　2x=tとおくと　dx=)1/2)dt 　e^(2x)=e^t 　x:[0,1]　⇒　t:[0,2] であるから 　∫[0,1] e^(2x)dx=∫[0,2] e^t (1/2)dt 　=[(1/2) e^t][0,2] 　= (1/2)(e^2 -1) [考え方3] 積分は微分の逆操作と憶える。 　F(x)=∫f(x)dx+k(kは任意定数) ⇔ f(x)=F'(x)=d/dx F(x) 　等価関係の操作であることを意味する。 例では 　d/dx e^(2x)=e^(2x)*(2x)'=2e^(2x) 　e^(2x)=(1/2)d/dx e^(2x)=d/dx (1/2)e^(2x) 　⇔ ∫e^(2x) dx=(1/2) e^(2x) +k 積分範囲[0,1]をつけて 　∫[0,1] e^(2x) dx=[(1/2)e^(2x)][0,1] 　=(1/2) (e^2 -e^0)=(1/2) (e^2 -1)

machikono
質問者

お礼

＞定積分の上限と下限の描き方が逆です ご指摘有難うございます、助かります。 沢山の考え方を丁寧に教えて頂いて感謝致します。 こんなに違う考え方が出来るのは本当に羨ましいです。 考え方２はあるu-tubeで学んだばかりなのに気が付きませんでした。。。 どれも勉強になります、有難うございました。

  1. カテゴリ
  2. 学問・教育
  3. 数学・算数

関連するQ&A

  • 微分、tangents を求める文章問題

    問題）Find the equations of the tangents to the given curves for the given values of x. Y = e^x, where x = -1 答え）ey = x + 2 私の考え方）Y = e^x 微分するとdy/dx = e^x x = -1 の時　dy/dx = e^-1 だからtangentの傾きは e^(-1) Y = e^x　でx = -1 の時y = e^-1 だから　(-1 , e^ -1) よってtangentの式は　y - e^ -1 = e^-1 (x + 1) → y = xe^-1 + 2e^-1 = e^-1 (x+2) となります。 質問１）私の考え方は間違っていますか？ 質問２）何故答えは　y = ～ 　ではなく　ey = ～　　という式なのですか？ 教えて頂けたら助かります、宜しくお願い致します。

  • 積分文章問題（質問英語です）

    The graphs of y=cosx and y=sinx are drawn on the axes below. Find the exact area enclosed between the two curves from x=0 to x= 3Π /4 (shaded) こうやってみました。 　　　↓ ∫ [0　→ Π /4 ] cosx-sinx dx + ∫ [ Π /4 　→ 2Π /4 ] sinx - cosx dx +∫ [ 2Π /4 　→3Π /4 ] sinx dx +　l ∫ [ 2 Π /4 　→ 3 Π/4 ] cosx dx} l 又は ∫ [0　→ Π /4 ] cosx-sinx dx} + ∫ [ Π /4 　→ 3Π /4 ] sinx dx ＊　∫ [ Π /4 　→ 2Π /4 ] cos x dxと l ∫ [ 2 Π /4 　→ 3 Π/4 ]cosx　dx　l の面積が同じだから。 私の考え方は合っていますか？ 又はもっといい考え方があれば教えて頂けますか？ 又問題はexact areaで答えよとなっています。 例えば sin Π /4 , sin 2Π /4　などの　exact value　は知っていますが　sin 3 Π/4 などの exact value はどうやって求めればいいのでしょうか？

  • 微積分の問題 y=Kx^3 e^(-x^4) + L/(1+x^2)

    微積分の問題です。問題は英語で書かれています。 原文: Find the exact area using the Fundamental Theorem of Calculus for the entire region between the positive x-axis and the graph of y=Kx^3 e^(-x^4) + L/(1+x^2) for K and L positive constants. 日本語訳: KとLが正の定数であるとき、正のX軸とグラフ y=Kx^3 e^(-x^4) + L/(1+x^2)との間の全体の領域の正確な面積を微積分学の基本定理を用いて求めなさい (と訳してみました)。 まず、Anti-derivative(不定積分)をしてみました。 ∫Kx^3 e^(-x^4) + L/(1+x^2) dx Kx^3 ∫e^(-x^4) + L arctan(x) これは僕の計算機が出した答えです。 ∫1/(1+x^2) dx = arctan(x)になるのは知っていますが もう片側は果たしてこれでいいのかどうか…。 しかもKとLが数字ではないので、これからどうすればいいのか分かりません。 どなたか、この問題の解法を教えてください。 では、よろしくお願いします。

  • 積分計算がわかりません

    微分方程式の問題で (x+y)dy/dx=3x+3y+1 の一般解を求めたいのですが 自分がわかった部分は Y=x+y・・・(1)とおいて 両辺をxで微分して dY/dx=1+dy/dx・・・(2) となるので(1)(2)から dY/dx=(4Y+1)/Yになって Y/(4Y+1)dY＝dx で両辺を積分すれば求まると思ったのですが 左辺の積分がうまく出来ません また、ここまでの式変形がすでに間違えているのでしょうか

  • 高校　積分について

    2∫sinx (sinx)' dx = [sin^2x] ∫(e^x ＋ 1)^2 (e^x ＋ 1) dx = [ 1/3 (e^x ＋ 1 ) ^3 ] ∫tanx ( tanx )' dx = [ 1/2 ( tanx )^2 ] 積分と微分が逆の計算ということより、 ∫と( )' が打ち消しあうと思っていたのですが、 1/3、1/2　はどこからでてきたものなんですか？

  • 積分

    微分方程式を解く過程で 　C(x) = ∫(sinx)(cosx)*e^(sinx)dx を解くことになったのですが、これは解けるのでしょうか？ 　∫(cosx)e^(sinx)dx なら　=e^(sinx)　と解けるのですが。 ちなみにそもそもの問題は 　　y' + (cosx)y = (sinx )(cosx) で、定数変化法を使って解き、まず右辺＝0の解が 　　y = Ce^(-sinx)　：Cは積分定数 と求まったので、C=C(x)として最初の式に代入して今回質問した積分がでてきました。 よろしくお願いします。

  • e＾-1/Tの積分

    現在、次のような微分方程式を解かなければならず、 悪戦苦闘しています。 dx/dT=k/a*exp(-E/RT)*(1-x) この式のうち、k,a,E,Rは定数で既知なので、無視すると、 dx/dT = exp(-1/T)*(1-x) という微分方程式になります。 私はこの式をxとTの変数分離型の微分方程式と捉えて次のように変形しました。 dx/(1-x) = exp(-1/T)dT これの両辺を積分するのですが、左辺は ln{1/(1-x)} という答えになるのがわかるのですが、右辺の ∫exp(-1/T)dT という積分が解けません。 どなたか教えていただけませんでしょうか。 よろしくお願いいたします。

  • y = ln x , where x = 1/2

    問題）Find the equation of the tangent to the following graph for the given value of x. y = ln x , where x = 1/2 私の答えは　y = 2x - 1 + ln 1/2 ですが　解答は y = 2x - ln 2 -1　なのです。 この解答は合っていますか？　もしそうなら - ln 2 になる途中式を見せて頂けますか？

  • Y = e ^(-2x)

    Find the equations of the tangents to the given curves for the given values of x. Y = e ^(-2x), where x = ln 2 y = - 2 e x ^(-2ln2) + 2 ln 2e ^(-2ln2) – 2 ln 2 という絶対間違ってると思える答えになってしまいます。2ln2　という共通の数字が見つかるので綺麗な式にしたいのですがこの様な形でそれが出来るのかどうかわかりません。 途中式は(x,y) = ( ln2, -2ln2) と出し、元の式を微分すると -2e ^ (-2x) x 。ln2 の時tangents　の傾きが　-2e ^ (-2ln2) と出たので　y-y1 = m(x-x1) の式にあてはめました。 間違い指摘、考え方などを教えて頂けますか？

  • 積分の計算が分かりません。教えてください。

    y=log{(l+sqrt(l^2+x^2))/x}という式を E=-dy/dx（本当は偏微分の問題なのですが、偏微分記号をdと書かせていただきました。）と微分する問題なのですが、 自分でやってみたのですが、答えと合わず、くじけてしまいました。 対数なので、 log(l+sqrt(l^2+x^2))-log(x)と置いてみました。 計算してみたところ、{x/{aqrt(l^2+x^2)*(l+sqrt(l^2+x^2))}}-(1/x) ととても長い式をなってしまいました。 答えを見ると、E=l/{x*(sqrt(l^2+x^2))} ととてもスッキリした結果となっています。 ですが、どうしてもここまでスッキリできません。 どなたかご回答お願いします。

注目のQ&A

カテゴリ

専門家に質問してみよう

職業から探して質問する

あなたにピッタリな商品が見つかる！ OKWAVEセレクト

質問する