電池接続コンデンサ極板間距離を広げる仕事の求め方

質問

こんにちは。一般的な会社員男性です。

仕事の都合で高校物理を勉強し直しています。
電磁気分野において、疑問点があり、同様の質問も
見つけることができなかったため、質問させてください。

下の問の、（１）は理解できるのですが、
（２）がいまいち自分自身納得が得られず困っています。
（実際に出会った問題ではなく、純粋に疑問に思っての質問です。）

【問題】
面積S、極板間の距離がdの平行板コンデンサーにQの電荷が蓄えられている。
真空の誘電率をε₀。極板の距離をｄ→２ｄに広げるための仕事を求めよ。

(1)電池を切り離す（帯電電荷は変化なし）の場合。
(2)電池を接続したまま（電位差は変化なし）の場合。

【自己回答】
(1)について
以下の内容で理解できているつもりです。

電池がする仕事と回路で発生するジュール熱は０と考えられるため、
求める仕事はコンデンサーの静電エネルギーの変化に等しい。

静電容量は
C=ε0S/dからC'=ε0S/(2d)
と変化。

一方、電荷はQで一定なので静電エネルギーは
Q=CV
∴V=Q/C
∴U=(1/2)CV^2
=Q^2/2C
となるので
U=Q^2/2CからU'=Q^2/2C'
と変化。

よって静電エネルギーの増加量は
U'-U=Q^2/2(1/C'-1/C)
=(1/2)(Q^2 d/ε0S)（=仕事）

(2)について
以下のように考えましたが、間違いのような気がしています。

電池接続状態なので、
コンデンサー最初の静電エネルギー
+電池がする仕事
+極板間を広げる仕事
－回路で発生するジュール熱
＝コンデンサー最後の静電エネルギー

という関係式の各値を求める必要がある。

○第１ステップ
計算して、
最初の静電エネルギー：1/2CV^2
電池がする仕事：-1/2CV^2
最後の静電エネルギー：1/4CV^2

となるので、
（+極板間を広げる仕事－回路で発生するジュール熱）
＝（1/4CV^2）-1/2CV^2-（-1/2CV^2）
＝1/4CV^2

○第２ステップ
極板間を広げる仕事＝力×移動距離から考える。
・力＝(Ｑ×Ｅ）/2
=(CV×E)/２・・・(1)式
・移動距離=d
よって仕事＝力×距離
＝（CV×E）×d/２
＝（CV^2）/2
と考えてはみたのですが、電池が接続されている
ということは、極板間を広げるとＱが変化（減少）
、つまりＣも変化。
つまり、上記(1)式において、
Ｃが一定ではないので、最初の静電容量であるＣを
そのまま計算に使用することは不可ではと疑問です。

極板間を広げる仕事とジュール熱を各々
求める方法をご教唆頂けると幸いです。

回答No.4

stomachman

ANo.3へのコメントについてです。

3点あります。よくご理解戴けたと思うのだけれども、どうも説明を遠慮しすぎたようなので、もう少しはっきり書き直します。

(1) ご質問に書かれた【問題】(1)(2)が求めている仕事を計算するには、単に「力×移動距離」つまり力を距離で積分すればいいだけです。なのに、ジュール熱を考慮するという迂遠な方法を採るのは、ちょっと普通でない発想である、ということ。

(2) 普通でない発想が駄目という訳ではないので、お好きになされば良い。ですが、ジュール熱は極板をごくゆっくり動かすぶんには問題にならないはずです。ということは、生じるジュール熱は、極板の運動に依存するでしょう。（だからこそ、【問題】の仕事を計算するだけのために、極板の運動を考慮しなくては計算できないジュール熱を使う、という発想は迂遠であり、普通じゃないんです。）

(3)

> ジュール熱を考慮に入れる、という前提に立つと
> いうことは、「端効果が無視できない」ということになる。

という部分のご理解が違ってます。説明が悪かったですね。
　「極板の大きさに比べて、最初の極板間の距離dがうんと小さくて、それを広げたときの極板間の距離xもまたうんと小さい」という場合なら、端効果を無視して近似計算しても誤差は小さい。なので、普通の高校物理の問題なら「ただし端効果は無視できるものとする」というような但し書きが付いている。これなら簡単です。

　ところが、ご質問にはこの但し書きがない。それどころか、極板の大きさが有限値Sとして与えられており、dとSの関係は何も書いてない。ということは、そもそも「極板の大きさに比べて、極板間の距離が小さい」とは仮定できません。

　ANo.3で指摘したのは、「（普通の高校物理の問題のように）端効果を無視すると、極板間を広げるのに掛かる仕事(=広げたことによるポテンシャルエネルギーの増加)の計算が、ｄ→ ∞のときに破綻する」ということです。（これは、ジュール熱が出る(=急激に極板を動かした）かどうかとは全く無関係な話です。）
　ご質問では「極板の距離をｄ→２ｄに広げる」ということに限定されていますが、一般に「ｄ→xに広げる」と考えてみます。端効果を無視すると、「ｄ→ ∞に広げる」としたとき、仕事を計算すると発散してしまう。これは、xが大きくなるにつれて計算に含まれる誤差がどんどん大きくなるからであり、そして、この誤差の原因は「端効果を無視する」という近似ですね。
　ジュール熱を考慮してエネルギーの収支をキチンと計算したいのなら、端効果を無視する訳には行かないんじゃないでしょうか。

補足

非常に詳細な追加回答、ありがとうございました。

正直、指摘頂いた内容が私にはまだ難しく、
内容理解に時間ばかりとられてしまって、
返答に時間がかかってしまいました。

（なかなか仕事と勉強との両立も難しく、
時間ばかり過ぎてしまって、、
言い訳です。すいません。。）

ご指導頂いた内容を理解できたと感じることが
できるようになるには、一旦時間を置いて
学習を進め、その後再度取り組んでみることが
必要なのかなと思っています。

せっかく丁寧に回答いただいたのに、
時間だけかけてこんな返答しかできず
心苦しいですが、今後の勉強の指標に
させて頂きます。

どうもありがとうございました。

回答No.3

stomachman

この手の話は、うんと大きい極板（端効果が無視できる）をうんとゆっくり（常に平衡状態で）動かす場合についての話だと考えるのが普通ですよね。さらに（少なくとも手始めは）抵抗を無視し、すなわちジュール熱が出る不可逆変化を考えるのではなくて、熱が出ない可逆変化（広げた極板の距離をゆっくり戻せば、すっかり元通りになる）として考えるべきでしょう。だから電流の心配は無用。
　で、仕事とは要するに「力×移動距離」。

　極板の間隔をxとして、端効果が無視できるコンデンサの静電容量はxに反比例しますから、(2)のように電池を接続して電圧を一定に保っているときには、極板の電荷Qは
　　Q ∝ 1/x (Kは定数）
である。端効果が無視できる大きい極板だと極板間の引力は距離に依らないので、
　　F ∝ 1/x
これをxでd～∞まで積分する。高校数学で楽勝で、あとは比例係数をきちんと入れるだけ、と思いたくなります。ですが、∫(1/x)dx = ln(x)+C だから、定積分は発散しちゃいます。なんかおかしいですね。

　問題の本質を見るには、(1)の方が分かり易い。というのは、上記の考え方だと電荷Qが一定なら、Fも一定。（当然、これを積分したら発散してしまう。）しかし、Fがxによらず一定、なんてことってあるでしょうか。
　もうお分かりでしょうが、距離xがうんと大きくなれば「端効果が無視できる」と言っていられなくなるのがポイントです。xが大きい極限では極板は（大きいと言っても高々有限の決まったサイズなのだから、xがそれより十分大きければ）点と同じであり、従ってFはx^2に反比例するようになる。つまり、xの肩に乗る数値が0から2まで、xが大きくなるにつれて変化するわけです。だから端効果を真面目に計算しないとキチントは出来ない。

お礼

詳細な回答ありがとうございます。

なかなか内容を理解するのが難しく、返答が遅くなり
申し訳ありませんでした。

つまり、

ジュール熱を考慮に入れる、という前提に立つと
いうことは、「端効果が無視できない」ということになる。
それは、通常コンデンサーの極板間にかかる力Ｆ
の求め方（1/2×電界×電荷）が適用不可となること
を意味している。

そして、その力Ｆは、クーロンの法則に則り
Fはx^2に反比例するようになる。

これは力Ｆが一定でないことを意味しているため、
当然極板間を広げる仕事も、Ｆを一定として
求めることは不可である。

ということなんですね。

高校物理・数学の全体を再度勉強し直している自分に
とっては、今のところかなり高度な内容でした。

説明頂いた内容を念頭に置きつつも、勉強を先に
進めたいと思います。

丁寧な回答ありがとうございました。

回答No.2

rnakamra

#1の補足への回答

>(1)　つまり、電池接続有無に関わらず、極板を広げるために
　系に加えられる仕事は一定。

まず、この第1段階が違うのです。
電池を接続しているとして考えましょう。
極板を少し広げます。すると静電容量が変化しますが電圧は変化しないため極板に蓄えられる電荷が変化します。(広げる場合は減少します)
すると極板間の電界も変化します。
その相互作用で極板を広げるために必要な力の大きさが変化します。

つまり、電池をつないだ状態では広げるために必要な力は一定ではありません。
この力の変化は電荷の変化のはやさ、つまり電流に依存します。そのため力の大きさの変化は抵抗に依存するのです。

力の大きさが抵抗に依存するのですから力を移動距離で積分することで得られる仕事の大きさも抵抗で変わってしまうのです。

お礼

追加回答ありがとうございます。

確かにおっしゃるとおり、電池接続状態では、

「極板を少し広げます。すると静電容量が変化しますが電圧は変化しないため極板に蓄えられる電荷が変化します。(広げる場合は減少します)
すると極板間の電界も変化します。
その相互作用で極板を広げるために必要な力の大きさが変化します。」

という部分はとても理解できます。

そこで、力×距離という考え方からだと計算できない
ようなので、どうにかうまいこと求められないかなあと
苦肉の策で絞り出してみた考えだったのですが、
やはり矛盾が生じていますね。

極板間の力が、方や一定、方や一定でないのに、
仕事に違いがないわけないですよね、、

やはりおっしゃるとおり、正確には、力の大きさの変化は抵抗に依存することを考慮して計算せざるを得ない
ということがわかりました。

まだ高校物理・数学を勉強し直している最中ですので、
この疑問は念頭に置きつつ、先に進みたいと思います。

何度も本当にありがとうございました。

回答No.1

rnakamra

高校生のレベルでは無理。
というよりも仕事とジュール熱は極板を動かす速さやコンデンサと電池間の抵抗の大きさに依存します。
極端なことをいえば、コンデンサと電池間の抵抗がほぼ無限に大きいとし十分に速く極板を動かしたとすると、この仕事の大きさは電池をつなげていない場合となんら変わりません。動かしている間に電荷の大きさは変わらない(抵抗が大きすぎて電荷の移動が間に合わないため)のですから当然です。

ですので、この計算をする場合は動かし方と抵抗の大きさを決めておく必要があります。
その場合でも仕事やジュール熱の計算には積分を行う必要があります。

補足

回答ありがとうございます。
なるほど、正確には極板の動かし方と抵抗の大きさに
依存してしまうということなんですね。。

ここで、追加質問なのですが、、

コンデンサに直列に抵抗Rが接続されていると仮定する時、
（電池のエネルギーの増分）＋（抵抗で消費されるエネルギー）ー（静電エネルギーの減少分）
ですが、
１．まず（１）のように、電池を切り離して電極を移動して、コンデンサに静電エネルギーをΔUc増加させる。電極を動かす仕事はΔUcと同じ。
２．次に、電池と抵抗の回路を接続する。このとき、外部からの仕事はなし。
３．電流が流れて、抵抗でエネルギーが消費される。
4．しばらくすると、電荷の移動（電流）がとまる。これが（２）の電極を広げた後の状態。

こう考えるれば、最初と最後の結果は（２）の問題と同じで、操作段階を変えただけですよね？

このときの電池のエネルギー増加分ΔUd、コンデンサのエネルギーの増加分ΔUc'とすると、

ΔUc－ΔUc'＝ΔUd＋（抵抗によるエネルギー損失）

として考えれば、抵抗による消費エネルギーを求めることは可能ではないのでしょうか？

(1)　つまり、電池接続有無に関わらず、極板を広げるために
　系に加えられる仕事は一定。
(2)　その加えられたエネルギーが、全てコンデンサーに蓄え　られるのか、それともそれに加え、電池がされる仕事およ　びジュール熱　に変わるのか、
　という違いがあるだけ。
(3)　コンデンサーの静電容量の変化量、および電池が
　される仕事は求められるので、必然的にジュール熱も
　求められる。

という考え方です。

ただこの考え方が正しいのでは、とは思っているものの、
どこか間違っているのではないか、と、自分でも確信が
持てていないような状況です。

よろしければ、またご指導くだされば幸いです。