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惑星
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面積速度が一定というやつを使って求めます。 たぶん、前の問題の続きの問題だと思うので、 近日点(焦点)を(-√(a^2-b^2),0)とします。 (-a,0)のときの速さをv1,(a,0)のときの速さをv2、(0,b)の時の速さをv3とします。 面積速度は角運動量の大きさの半分、 面積速度 = (角運動量の大きさ)/2 角運動量の大きさ = 回転(焦点)の中心からの距離×速さ×|sinθ| θは、回転の中心と質点を結ぶ直線と速度ベクトルのなす角度。 (-a,0)と(a,0)の時は、θ=π/2と考えればいいので、sinθ = sin(π/2) = 1。 すると、それぞれの面積速度は 面積速度 = (1/2)・(a-√(a^2-b^2)・v1 面積速度 = (1/2)・(a+√(a^2-b^2)・v2 よって、 (a-√(a^2-b^2)・v1 = (a+√(a^2-b^2)・v2 v2/v1 = (a-√(a^2-b^2)/(a+√(a^2-b^2) となる。 遠日点での速さは、近日点の速さよりも遅い!! それで、(-√(a^2-b^2,0)と(0,b)との距離は、a。 三平方の定理を使うと、 (-√(a^2-b^2))^2 + b^2 = a^2 となるので。 (0,b)における速度は、x軸と平行。 ですから、 sinθ = b/a となる。よって、面積速度は 面積速度 = (1/2)a・v3・sinθ = (1/2)a・v3・b/a = (1/2)・bv3 となる。 だから、 (a-√(a^2-b^2)・v1 = (1/2)・bv3 v3/v1 = (a-√(a^2-b^2)/b かな。 わたしは計算が苦手なので、計算を間違っているかもしれない。 あくまで、考え方のみを参考にしてください。
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- NemurinekoNya
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面積速度は、 「惑星と太陽とを結ぶ線分が単位時間に描く面積」 なんですよ。 面積なので、負の値を取りません。 v2は速さ(v2≧0)ですから、 -(1/2)・(a-√(a^2-b^2)・v2 ですと、 負の値になってしまいます。 速度は正負、そして、ゼロの値を取りますが、 速さはゼロ以上です。
お礼
詳しい解説ありがとうございます。
- NemurinekoNya
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(-a,0)と(a,0)のとき、速度はy軸と平行だから。 楕円を書いて、(-a,0)と(a,0)の接線を書いてごらん。 そうすると分かる。 あるいは、 (-a,0)という点に向かって時計回りに回転しているとすると、 このときのx方向の速度成分はマイナス、 (-a,0)を過ぎると、x方向の速度成分はプラス。 ですから、 (-a,0)の時のx方向の速度はゼロでなければいけない。 ということで、(-a,0)の所での速度は、y軸と平行。 焦点と(-a,0)はx軸上にあるので、速度とは直交していることになります。 (a,0)のときも同様に考えればいい。プラス・マイナスが逆になるけれどね。
お礼
面積速度 = (1/2)・(a-√(a^2-b^2)・v1 面積速度 = (1/2)・(a+√(a^2-b^2)・v2 なぜこうなるのですか? 角運動量の大きさ = 回転(焦点)の中心からの距離×速さ×|sinθ| となるならば、-(1/2)・(a-√(a^2-b^2)・v2 となるのでは?
- ybnormal
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aとbそれぞれでの速度をVa, Vbとすると、ある非常に短い時間Δtに惑星が移動する距離は、aではVa*Δt,bではVb*Δtとなる。時間Δtが経過する間に、a,bそれぞれへの半径がカバーする面積はVa*Δt*a, Vb*Δt*b。 ケプラーの法則から面積速度は一定だから、 Va*Δt*a = Vb*Δt*b Va/Vb = b/a
お礼
詳しい解説ありがとうございます。
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