ε‐δ論法について

質問

大学1年生です。数学の授業で課題としてε‐δの問題がでたのですが、その問題というのが授業でやった問題と形が違うので解き方が分からず困っています。
授業でやったことでさえまだまだ理解できていないのでできれば解き方の解説もしてもらえれればとても嬉しいです。

さすがに問題そのものを教えてもらうのは気が引けるので、問題の数値を変えましたので誰か教えていただけないでしょうか？

問題
ｎ→∞のときＸ＿n→aならば、Ｘ＿１＋Ｘ＿２＋Ｘ＿３＋・・・・・・＋Ｘ＿ｎ/ｎ→a

であることをε‐δ論法で証明せよ。

回答No.6

funoe · ベストアンサー

さきの回答の下ごしらえまで理解できたって前提で続きです。

（Ｘ＿１＋Ｘ＿２＋Ｘ＿３＋・・・・・・＋Ｘ＿ｎ）/ｎ　→　ａ
をε-δ（数列の収束だからε-Nの方）で示すってことは、

ｎが大きいとき
｜（Ｘ＿１＋Ｘ＿２＋Ｘ＿３＋・・・・・・＋Ｘ＿ｎ）/ｎ　　-　ａ　｜　＜　ε
を示すってこと。

ε-Nでの記述は、
Ｘ＿n→a　なので、任意のε＞０に　対して、ある自然数ｎ０が存在して、
n0<nとなるｎに対して、|X_ｎ－ａ ｜＜ε/２　とできる。

・・・ここで、”＜ε”ではなく、”＜ε/２”　とεの半分を使っているのは「下ごしらえを踏まえた先の見通し」ってヤツです。

ここで、下ごしらえに沿って式変形して、

｜（Ｘ＿１＋Ｘ＿２＋Ｘ＿３＋・・・・・・＋Ｘ＿ｎ）/ｎ　　-　ａ　｜
＝|（（Ｘ＿１＋Ｘ＿２＋Ｘ＿３＋・・・・・・＋Ｘ＿ｎ）-ｎａ）/ｎ　　
＝| ((X_1-a)+(X_2-a)+(X_3-a)+・・・・・・＋(X_n-a))/n|
・・・・ここで、ｎ０までとｎ０以降の前半、後半に分ける
＝| ((X_1-a)+(X_2-a)+(X_3-a)+・・・+(X_n0－ａ）＋（X_（n0+1)－ａ）＋・・・＋(X_n-a))/n|
・・・・ここで、前半と後半を分離する。絶対値を外すとき不等号になることに注意、三角不等式ってヤツ。
≦| ((X_1-a)+(X_2-a)+(X_3-a)+・・・+(X_n0－ａ））/ｎ｜＋｜（（X_（n0+1)－ａ）＋・・・＋(X_n-a))/n|
＜| ((X_1-a)+(X_2-a)+(X_3-a)+・・・+(X_n0－ａ））/ｎ｜＋　（ε/2）＊（n-n0）/ｎ
＜| ((X_1-a)+(X_2-a)+(X_3-a)+・・・+(X_n0－ａ））/ｎ｜＋ε/2

ここで、第1項の分子側の
((X_1-a)+(X_2-a)+(X_3-a)+・・・+(X_n0－ａ））は、有限項の和なので上界Ｍを持つ。
したがって、ある自然数ｎ１が存在して、
ｎ１＜ｎ　ならば、Ｍ/ｎ＜ε/2　となるようなｎ１が存在する。
　・・・・この定理は、実数のアルキメデス性ってヤツで使ってよい定理です。証明は"実数の定義に従い・・"。
　・・・・なお、ここも”＜ε”ではなく、”＜ε/２”にしてます。種明かしはもうすぐ。　

以上より、ｍａｘ（ｎ０，ｎ１）＜ｎなるｎに対して、
｜（Ｘ＿１＋Ｘ＿２＋Ｘ＿３＋・・・・・・＋Ｘ＿ｎ）/ｎ　　-　ａ　｜
＜| ((X_1-a)+(X_2-a)+(X_3-a)+・・・+(X_n0－ａ））/ｎ｜＋ε/2
＜ε/2＋ε/2＝ε
　・・・ここで、それぞれあえて”＜ε/２”にした理由がわかるというオチでした。

以上、そうとう、細かくしつこく書いてみました。
シナリオの流れを十分に理解できたら、適宜はしょって記述すればよいでしょう。

大学入って最初にε-δに触れたときって「概念に関する理解」だけでなく、「お作法に沿った記述の仕方（スイングフォームのようなもの）」の両方を覚えないといけないので頑張ってください。

お礼

おお・・・ありがとうございます！他で調べたよりはるかに分かりやすい解説でした！これを参考にして課題がんばってみます。

丁寧に教えてくれて本当にありがとうございます！