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ε‐δ論法について
funoeの回答
- funoe
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んーー。結構、微妙な理解の仕方ですねぇ。 本当にわかっているかがわからないといった感じが伝わってきます。 えっと、 n→∞のときX_n→a だから 結構先のほうのX_nは、「ほとんどaに近い」「ほとんどaと同じ」って感じなのはOK? だから、手前の方はまぁ別にしても、先の方では大体aってことは X_1+X_2+X_3+・・・・・・+X_n って X_1+X_2+X_3+・・・+X_m+a+a+a+a・・・+a に大体近くなるわけ。OK? (補足にあるような、X_nに近づくってんじゃなくて、「aに近づく」っていう理解が良いよね) 高校生的な直感表現でいえば (X_1+X_2+X_3+・・・・・・+X_n)/n ≒(X_1+X_2+X_3+・・・+X_m+a+a+a+a・・・+a)/n ≒(X_1+X_2+X_3+・・・+X_m)/n + (a+a+a+a・・・+a)/n ≒ M/n + (a+a+a+a・・・+a)/n で、 M/n→0 (a+a+a+a・・・+a)/n →a だから (X_1+X_2+X_3+・・・・・・+X_n)/n →a って感じ。ここまではOK? -- ε‐δでいえば、 X_n→a ってことは、 適当な(小さ目の)正数εに対して(きっと大き目の整数の)mがあって、 項番mより先のX_nはほとんどaと同じ。具体的には |X_n - a| < ε とできる。 1項からn項までの和である、X_1+X_2+X_3+・・・・・・+X_nを 前半のm項と、その後ろに分けて考えると、 項番mまでの、1項からm項までを X_1+X_2+X_3+・・・+X_mの部分は (X_1-a)+a+(X_2-a)+a+(X_3-)+a+・・・+(X_m-a)+a =(X_1-a)+(X_2-a)+(X_3-)+・・・+(X_m-a)+m*a って書き換えてみると (X_1-a)+(X_2-a)+(X_3-)+・・・+(X_m-a)の部分を定数Mだと置くと X_1+X_2+X_3+・・・+X_m =M + m*a (えっと、前半の各項は、aから結構離れていたりするのがいたりするけど、その「ズレ」「誤差」を全部まとめても せいぜい有限のズレがm項分しかないからその和をMという定数で表現できるってことです。OK?) 後半の部分は、ほとんどaに近い数を繰り返し足し算しているので、 X_(m+1)+X_(m+2)+・・・・・・+X_n <|a+ε|+|a+ε|+|a+ε|+・・・+|a+ε|=(n-m)|a+ε| ということは、 X_1+X_2+X_3+・・・・・・+X_n =M+m*a +X_(m+1)+X_(m+2)+・・・・・・+X_n <M+m*a +(n-m)(a+ε)=M+n*a+|n-m|ε nで割った与式は、 (X_1+X_2+X_3+・・・・・・+X_n)/n < M/n + a + |n-m|ε/n でnを大きくすれば1項と3項は0に近づくから2項のaだけ残って極限がaになるんだけど、 ε‐δ(ε‐m)で記述するには、ここまで下ごしらえをしておいてから、 逆算的に、改めてεを与えてからどんなmにすれば良いかを考えることになる。 --- と、ここまで、だらだらと思考の流れを書いたけど、ここまではOK? 疲れたから続きはあとで。
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