数学の証明です

質問

数学の問題について質問です。
以下の問題です。
(１)空間内に４点ABCDがある。線分BC上に点Eをとり、BE:CE＝ｋ：１－ｋとすると
(１－ｋ)AB²＋ｋAC²－AE²＝(１－ｋ)DB²＋ｋDC²－DE²
が成り立つことを示せ

(２)空間内に平面πと直線ｌがあり１点Pで交わっている。さらにπ上の異なる２直線m₁とm₂がｌとPで直交している。このときPを通るπ上の任意の直線ｎはｌと直交することを示せ。(したがって、πはｌに垂直である。)

どうかよろしくお願いします。

回答No.3

yyssaa

No.2です。
前回回答（１）の「以上の通り、与式の左辺は点Aの位置に関係なく点B、点Cの位置
及びkの値で決まるので、・・・・・」の部分は
「以上の通り、与式の左辺は点Aの位置に関係なくBC(点B、点C間の距離)及びkの値で
決まるので、・・・・・」と読み替えて下さい。よろしく。

回答No.2

yyssaa

No.1です。（１）の別解と（２）を回答します。
(１)空間内に４点ABCDがある。線分BC上に点Eをとり、BE:CE＝ｋ：１－ｋとすると
(１－ｋ)AB²＋ｋAC²－AE²＝(１－ｋ)DB²＋ｋDC²－DE²
が成り立つことを示せ
＞ベクトルを↑で、内積を↑・↑で表します。
AB^2=↑AB・↑AB=(↑B-↑A)・(↑B-↑A)=|↑B|^2+|↑A|^2-2↑A・↑B
AC^2=↑AC・↑AC=(↑C-↑A)・(↑C-↑A)=|↑C|^2+|↑A|^2-2↑A・↑C
AE^2=↑AE・↑AE=(↑AB+k↑BC)・(↑AB+k↑BC)
={↑B-↑A+k(↑C-B↑)}・{↑B-↑A+k(↑C-B↑)}
=(↑B-↑A)・(↑B-↑A)+k^2(↑C-B↑)・(↑C-B↑)+2k(↑C-↑B)・(↑B-↑A)
=|↑B|^2+|↑A|^2-2↑A・↑B+k^2(|↑C|^2+|↑B|^2-2↑B・↑C)
+2k(↑C・↑B-↑C・↑A-|↑B|^2+↑B・↑A)
=|↑B|^2+|↑A|^2-2↑A・↑B+k^2|↑C|^2+k^2|↑B|^2-2k^2↑B・↑C
+2k↑C・↑B-2k↑C・↑A-2k|↑B|^2+2k↑B・↑A
=|↑A|^2+(1-2k+k^2)|↑B|^2+k^2|↑C|^2+(2k-2)↑A・↑B+(2k-2k^2)↑B・↑C
-2k↑C・↑A
以上を与式の左辺に代入すると
(1-k)AB^2+kAC^2-AE^2
=(1-k)(|↑B|^2+|↑A|^2-2↑A・↑B)+k(|↑C|^2+|↑A|^2-2↑A・↑C)
-{|↑A|^2+(1-2k+k^2)|↑B|^2+k^2|↑C|^2+(2k-2)↑A・↑B+(2k-2k^2)↑B・↑C-2k↑C・↑A}
=(1-k)|↑B|^2+(1-k)|↑A|^2-2(1-k)↑A・↑B+k|↑C|^2+k|↑A|^2-2k↑A・↑C
-|↑A|^2-(1-2k+k^2)|↑B|^2-k^2|↑C|^2-(2k-2)↑A・↑B-(2k-2k^2)↑B・↑C+2k↑C・↑A
=(k-k^2)|↑B|^2+(k-k^2)|↑C|^2-2(k-k^2)↑B・↑C
=(k-k^2)(|↑B|^2+|↑C|^2-2↑B・↑C)=(k-k^2)(↑B-↑C)・(↑B-↑C)
=(k-k^2)|↑B-↑C|^2
以上の通り、与式の左辺は点Aの位置に関係なく点B、点Cの位置
及びkの値で決まるので、D≠Aである与式の右辺も(k-k^2)|↑B-↑C|^2
となる(証明終わり)
(２)空間内に平面πと直線ｌがあり１点Pで交わっている。
さらにπ上の異なる２直線m₁とm₂がｌとPで直交している。
このときPを通るπ上の任意の直線ｎはｌと直交することを示せ。(したがって、πはｌに垂直である。)
＞↑m1,↑m2,↑l,↑nをそれぞれ直線m1,m2,l,n上の
ベクトルとすると、↑nはπ上の直線だから、a,bを
実数として↑n=a↑m1+b↑m2と表せる。
２直線m1とm2がｌと直交しているので、内積を↑・↑で
表すと、↑m1・↑l=0、↑m2・↑l=0。
↑l・↑n=↑l・(a↑m1+b↑m2)=a↑l・↑m1+b↑l・↑m2=0
よって↑lは↑n直交しており、直線ｎはｌと直交する。
(証明終わり)

回答No.1

yyssaa

取り敢えず（１）について。
(１)空間内に４点ABCDがある。線分BC上に点Eをとり、BE:CE＝ｋ：１－ｋとすると
(１－ｋ)AB²＋ｋAC²－AE²＝(１－ｋ)DB²＋ｋDC²－DE²
が成り立つことを示せ
＞線分ADをn等分し、各分割点を点Aに近い方から順にA1,A2,A3,・・・,An(=点D)
とすると、
↑A1=↑A+(1/n)↑AD
A1B^2=↑A1B・↑A1B=(↑B-↑A1)・(↑B-↑A1)
={(↑B-↑A)-(1/n)↑AD)}・{(↑B-↑A)-(1/n)↑AD)}
=|↑B-↑A|^2-(2/n)↑AD・(↑B-↑A)+(1/n)^2|↑AD|^2
=AB^2-(2/n)↑AD・(↑B-↑A)+(1/n)^2|↑AD|^2
ここでn→∞とすると、
AB^2-(2/n)↑AD・(↑B-↑A)+(1/n)^2|↑AD|^2=AB^2だから
lim(n→∞)A1B^2=AB^2、
同様に
lim(n→∞)A1C^2=AC^2、lim(n→∞)A1E^2=AE^2
次に↑A2=↑A1+(1/n)↑ADから
lim(n→∞)A2B^2=A1B^2、
lim(n→∞)A2C^2=A1C^2、lim(n→∞)A2E^2=A1E^2
同様に
lim(n→∞)A3B^2=A2B^2、
lim(n→∞)A3C^2=A2C^2、lim(n→∞)A3E^2=A2E^2
・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・
lim(n→∞)AnB^2=A(n-1)B^2、
lim(n→∞)AnC^2=A(n-1)C^2、lim(n→∞)AnE^2=A(n-1)E^2
以上からlim(n→∞)で
(1-k)AB^2+kAC^2-AE^2=(1-k)A1B^2+kA1C^2-A1E^2
(1-k)A1B^2+kA1C^2-A1E^2=(1-k)A2B^2+kA2C^2-A2E^2
(1-k)A2B^2+kA2C^2-A2E^2=(1-k)A3B^2+kA3C^2-A3E^2
・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・
(1-k)A(n-1)B^2+kA(n-1)C^2-A(n-1)E^2=(1-k)AnB^2+kAnC^2-AnE^2
辺々加えて
(1-k)AB^2+kAC^2-AE^2=(1-k)AnB^2+kAnC^2-AnE^2
点Anは点Dだから
(1-k)AB^2+kAC^2-AE^2=(1-k)DB^2+kDC^2-DE^2(証明終わり)