イプシロンデルタ論法のεはなぜ０ではダメなのか

質問

題名通り、数列と関数のイプシロンデルタ論法において、なぜイプシロンは０を含めて定義できないのでしょうか。「εは限りなく小さくなり、また０にもなる」とイプシロンデルタ論法を定義しても収束を言い表せていると思います。

よろしくお願いします

回答No.6

noname#233222 · ベストアンサー

＞つまり
＞∀ε＞0,∃δ> 0 s.t.∀x∈R , | x-a | ≦δ⇒ |f(x)-b |＜ε
＞
＞とイプシロンデルタを表記しても実質本当のイプシロンデルタと意味は変わらないということでしょうか？

∀ε＞0,∃δ> 0 s.t.∀x∈R , | x-a | ≦δ⇒ |f(x)-b |＜ε・・・★★
が言えていたとします。
すなわち、任意の正の数εに対し、「.∀x∈R , | x-a | ≦δ⇒ |f(x)-b |＜ε」を満たす正の数δが存在する。

すると、任意ε＞0に対して、正数δ’を、δ’=δ/2 (>0)に取ると、
| x-a | ＜δ’を満たす.∀x∈R に対して、
　　| x-a | ＜δ’=δ/2≦δ⇒ |f(x)-b |＜ε

いえたこと：∀ε＞0,∃δ’> 0 s.t.∀x∈R , | x-a | ＜δ’⇒ |f(x)-b |＜ε

・・・・・
定義の微妙なところに拘るのはあとにして、ある点では定義できない関数なんだけれども、その点では収束するような関数、例えば初めの回答子さんのsin x/ｘ　でｘ→0としたとき等の収束性をε-δで記述する練習を積めば、分かってくると思いますよ。
頑張ってください　<fin>

お礼

最初の疑問は解消しましたが、新たな疑問がまだ解消されていないので、改めて質問し直しますね

回答No.5

Tacosan

#4 の補足についてだけ:

自分で証明して (あるいは反証して) みてはどうでしょうか?

回答No.4

noname#233222

>　(2)| x-a | ≦δの場合（ただしδ>0）

δ＞0、ということは、| x-a | ＜δ　ではないでしょうか。

補足

つまり
∀ε＞0,∃δ> 0 s.t.∀x∈R , | x-a | ≦δ⇒ |f(x)-b |＜ε

とイプシロンデルタを表記しても実質本当のイプシロンデルタと意味は変わらないということでしょうか？

回答No.3

noname#233222

表現が悪くすみません。

「∀ε≧0,∃δ> 0 s.t.∀x∈R , | x-a | <δ⇒ |f(x)-b |≦ε」・・・★
の意味は、「０以上の任意のε」に対して、,「∀x∈R , | x-a | <δ⇒ |f(x)-b |≦ε」を満たす正の数δが存在する、という意味ですから、初めにεを「なんでもいいからとってきてそれに対するδがとれる」、ということでひとつでもこれが成り立たないεがあったいけません。

ε=0に対しても、「∀x∈R , | x-a | <δ_0⇒ |f(x)-b |≦0・・・(*)」を満たす正の数δ_0が存在しないといけませんが、(*)は
|f(x)-b |≦0 ⇔　ｆ（ｘ）＝ｂ　と同じです。

先にとったｆ(ｘ)=ｘ^2/ｘのｘ=0のまわりで、「∀x∈R , | x | <δ⇒ f(x)=0 」を満たすδが取れますか？

補足

δだけ(1)δ≧0の場合

　　　(2)| x-a | ≦δの場合（ただしδ>0）
　　　(3)δ≧0かつ| x-a | ≦δの場合

など他にありますが、(2)の場合はどうでしょうか？これだけわかりません

回答No.2

noname#233222

関数ｆ（ｘ）でｘ→aのときｆ（ｘ）→ｂは、
∀ε> 0,∃δ> 0 s.t.∀x∈R , | x-a | <δ⇒ |f(x)-b |<ε
と定義されてました。

始めの「∀ε> 0」を「∀ε≧ 0」　としてしまうと、ε=0にとると
「∃δ_1> 0 s.t.∀x∈R , | x-a | <δ_⇒ |f(x)-b |<0」
を満たすδ_1がとれないといけませんが、「 |f(x)-b |<0」は成り立ちません。

では、収束の定義を
「∀ε≧0,∃δ> 0 s.t.∀x∈R , | x-a | <δ⇒ |f(x)-b |≦ε」・・・★
とすればよいか、というと、f(x)=x^2/xという簡単な関数を考えたとき、ｘ→0のときｆ（ｘ）→0ですが、これを★としたε-δでかくと、
0に対し、δ>０を　|ｘ-0|＜δなる任意のｘにたいして|x^2/x - 0|=|x|<δ≦0にとらないといけませんが、このようなδ>0は取れません。
かといって、δまで「|ｘ-0|≦δ」としてしまうと、そもそもｘ=0で関数ｆ(ｘ)は定義されていないので意味を成しません。

ε-δ論法は、収束を厳密に定義するためのもので、この論法から直接何か新たな結果が出てくるものではないので、高校で習うような簡単な収束を定義できていなければ定義としてなりたたない、ということを初めの回答子さんは言いたいのだと思います。分かりにくい文章ですみません・・・。

補足

>　0に対し、δ>０を　|ｘ-0|＜δなる任意のｘにたいして|x^2/x - 0|=|x|<δ≦0にとらないといけませんが、このようなδ>0は取れません。

とありますが、これはたまたまこのy=x^2/xの関数が|ｘ-0|＜δと|x^2/x - 0|=|x|がたまたま同じ|x|になり、|x|<δ≦0となるδ>0は取れないというふうにできただけではないのでしょうか？私がここで言いたいのは、|x|<δ≦0となるδ>0がとれないような関数は一般的にどういう関数なのでしょうか。（例えば分母にxがある関数とか）

よろしくお願いします、あともう少しで分かりそうです

回答No.1

Tacosan

lim(x→0) sin x / x = 1
はどうなりますか?

補足

これだけが原因ですか？