ルーシェの定理の使い方について教えてください。

質問

解の個数を調べるためにルーシェの定理を使おうと思っています。
4z^4-7z^2+5z-1=0の解の個数について調べたいのですが範囲が|z|=1の内部で考えたときにf(z)とg(z)をおき，うまく|f(z)|>|g(z)|が成り立つことを説明できません。
どなたか複素解析学に詳しい方，ご教授よろしくお願いします。

回答No.5

178-tall

失敗例を書き込んでましたので訂正。

　　↓　単位円上に零点がある例を誤引用

>4z^3-7z+5 のほうは？
>ここで更なるルーシェ・テストを、
>　fs(z) = 4z^3-7z+3 = 4(z-1)(z-0.5)(z+1.5)
>　gs(z) = 2
>のペアに…。
>(単位円テストを経て) 4z^3-7z+5 が単位円内に 2 個の零点をもつと推定。

　　↓　ちょいとシフト…

　fs(z) = 4z^3-7z+4 = 4{z-(0.774+i0.217) } {(z-(0.774-i0.217)} (z+1.548)
　gs(z) = 1

回答No.4

178-tall

>どなたか複素解析学に詳しい方，ご教授よろしくお願いします。

「詳しい」ものじゃないのに、うっかり手を出したのが運の尽き。
よく「ルーシェの定理」の例題じゃ鮮やかな裁きが見られますけど、偏角テストのように事務的 (businesslike) なアルゴリズムにはできないものですかネ。

>4z^4-7z^2+5z-1=0
では、紆余曲折の道へ迷い込みました。(けっこう、意地の悪い課題らしい)

・f(z) の選定
例題にならって「支配項 (でかい係数の項) 」を狙ったが、結局
　4z^4-7z^2+5z
しか見つけられず。

・f(z) のテスト
単位円内の零点個数は？
　z*(4z^3-7z+5)
だから、z=0 に 1 個。

4z^3-7z+5 のほうは？
ここで更なるルーシェ・テストを、
　fs(z) = 4z^3-7z+3 = 4(z-1)(z-0.5)(z+1.5)
　gs(z) = 2
のペアに…。
(単位円テストを経て) 4z^3-7z+5 が単位円内に 2 個の零点をもつと推定。

ようやくこれで、4z^4-7z^2+5z が単位円内に 3 個零点をもつと推定できた。

単位円テストはお楽しみの残務としておきます。チャレンジしてみて…。

それにしても、「ルーシェの定理」をマスターしたいという気にはなれませんヨ。
トホホ…。

回答No.3

178-tall

単位円内に 3 個の零点をもつ多項式の候補は、
　f(z) = 4z^4-7z^2+5z
残りが、
　g(z) = -1
…ということらしい。

下調べで得たカンニング情報で見当をつけてみたのですけど、このあとドナイするんでしょ。

下調べは「2 次方程式解法」で済みましたが、お手並み拝見したいものです。

回答No.2

178-tall

>けれど、f(z) と g(z) の分け方はまだピンとこない。
「ルーシェ」には疑問符のままの蛇足です。

z-域の単位円上で 4z^4-7z^2+5z-1 に偏角テストをかけてみました。その筋書きだけでも…。

z = e^(iθ) = cos(θ)+isin(θ) (以下、c + is と略記) を代入し、
　e^(i2θ)*{4e^(i2θ) - 7 + 5e^(-iθ) - e^(i2θ) }
　= e^(i2θ)*{6c^2 +5c-10 + i(10c-5)s}
　= e^(i2θ)*{6(c-0.94)(c+1.77) + i(10c-5)s}
となって、その偏角 A は、
　A = 2θ+ arctan[ (10c-5)s/{6(c-0.94)(c+1.77) } ]

arctan[　] の中はθ=πを中心とする奇関数 (当然、θ=πにて零値) 。
その左半分を追跡すると (局所的な - 無限遠点に達しない - アップダウンを無視すれば) 、零から正勾配で立ち上がり、c=0.94 の「極」で無限遠点に達し、そこで極性が反転。
そのあと、ふたたび正勾配で零へ終着。
つまり、左半分にて偏角 A がπだけ増大。
同様に、右半分でも A がπだけ増大し、トータルの偏角増分は 3*(2π) 。

これから、多項式零点 4 個のうち 3 個が単位円内にある、と推定できる。

いまだに、f(z) と g(z) の分け方はピンとこない。

回答No.1

178-tall

当方も「ルーシェ」と無縁なので、f(z) と g(z) の分け方がピンときません。
…ので、z-域の単位円を w-域の虚軸へ写して偏角変動量を調べるというカンニングなテストでも…。

z = (1+w)/(1-w) なる変換 w→z を使うと、4z^4-7z^2+5z-1 は、
　P(w) = -9w^4 +30w^3 + 32w^2 + 10w +1
を (1-w)^4 で割ったものになる。

P(w) の偏角φ= arctan[w(30w^2+10)/9(w^2-3.587)(w^2+0.031) ] を w の虚軸上 [-i∞ → +i∞] にて追跡。
局所的なアップダウンを無視すれば、大局的には -π/2 から +π/2 まで 2 回だけ単調増大する。
これから多項式零点の個数が 「w-虚軸の左側のほうで右側よりも 2 個多い」 = 「z-単位円内のほうで外側より 2 個多い」 ということを推測できる。
つまり、「単位円内に 3 個、外に 1 個」というわけです。
それがわかっても、f(z) と g(z) の分け方はピンとこない。

面倒になり Bairstow 法で求根すると、
　z1 = 0.618
　z2 = 0.5003
　z3 = 0.4995
　z4 = -1.618
なので、カンニング・テストは合ってました。
けれど、f(z) と g(z) の分け方はまだピンとこない。