π < 4 の証明

質問

例えば、　円周率＜４　であることを証明しようとしたとき、どういったアプローチをしたら素直でしょうか。

例えば、ラジアンという概念とラジアンを単位とした三角関数を説き起こし、特定の場合の三角関数値 (たとえば arctan(1) )の値を評価する、といったアプローチが考えられますが...最初のラジアンというところで飛躍がありそうな気もします。

なお某入試の事は知っていますし、それはこちらには使えないことは心得ています。

回答No.8

178-tall · ベストアンサー

何と、「単純閉凸曲線」らしいです。

　　　↓ 参考URL >単純閉凸曲線の長さについて

参考URL：

http://portal.dl.saga-u.ac.jp/bitstream/123456789/118475/1/nishi_201108.pdf

お礼

今後、この質問を参照する方にはここで紹介されている文献、またその論文で参照されている文献が有用かと思いますのでベストアンサーとさせていただきました。

どうもありがとうございました。

補足

良い論文を紹介いただきありがとうございます。

この論文では、「円(を含む単純閉凸)曲線の長さとは内接する単純多辺形の長さの上限である」と定義して始まっていますね。

円周率>3を示すときは、長さを定義しなくても済んだのですが <4 を示すにはまずこれを長さと定義するとはじめないとだめなのかしらん。

回答No.20

178-tall

< ANo.16
　　↓
>四分単位円を目がけて数値実験してみると、「弦長」なら比例係数が 1 未満、折れ線長なら 1 超過。

余興として、この「数値実験」のブリーフィング。

外接折れ線長の例。
「四分単位円」の外接折れ線長 = 2 からスタート。
円周角の 2 分割をくりかえしたときの「外接折れ線長」をスプレッドシートに勘定させていく。
(Pythagoras 流)
そのつど「外接折れ線長」の総和 (π/4 もどき？) を見ていくと、6 回のくりかえしで π/4 と 4 桁一致する値が得られた。

…というだけのハナシですけど。

お礼

6回で4ケタですか。256角形になると、もう弦長と円弧長の違い0.01%以下ということなんですね。

具体的な計算結果をどうもありがとうございます。

回答No.19

178-tall

>「弧長と弦長の誤差が微少な角θ」
>これ自体が無条件で言えるのかが今問題にしているところです。

確かに、このスタートはウィークポイント。
単純な作図などから推断するしかありません。

　　lim　円弧長/弦長 = 1
　弦長→0

を前提しているわけで、もとの問題が何らかの「微小解析」つまり微積分の手法などを禁じ手にして解けるものでなさそうなことは、「線長積分」でも味わいました。
当方は、「微積分の手法などを禁じ手にしては、解けない問題」だろうと思ってます。

>>「円弧長は中心角θに比例して増大。　これは「日常幾何」で説明可。単位円なら比例係数が 1 。」

>この文章は、「中心角と円弧長さの関係は線形である」と言っていると理解しましたが、「中心角の値は円弧の長さと同じになるように角度単位を取る」という意図でしたでしょうか。

いいえ。
「ふつうの幾何」から得られる比例関係、だと考えてます。

お礼

微積分の手法自体を禁じ手にしているつもりはないですが...
例えば lim 円弧長/弦長 = 0.5 という主張には矛盾が導けますが、lim 円弧長/弦長 = 5 という主張には、直感に反していて合理性に欠けていることは示せても、矛盾は導けないのではないかと...

円周/円弧の長さというのは自明なものではなく、それゆえ合理的で人間の直感に則した何らかの定義をすることからはじめないとならないのだろうなと、感じています。

回答をお寄せいただきどうもありがとうございます。

回答No.18

iapetus

半径ｒの円Cに、１辺2ｒの正方形Sが外接している図を考えるだけでよろしいと思います。

その図により、円Cの外周（円周）2πrは、正方形Sの外周8rより小さいことが判ります。
よって、

　2πｒ<8r

∴π<4

以上。

参考URL：

http://xn--w6q13e505b.jp/proof/3_lt_pi_lt_4.html

お礼

「判ります」

どうやって？　目でみてそう思える、では証明になりません。
そのように子供でも分かるように説明はできても、いざ証明となると円周の長さを定義(決めつける)ことが必要になってしまう、円周の長さって自明なものではないのだと思われます。

回答をお寄せいただきありがとうございます。

回答No.17

178-tall

>角度あたりの円弧長は言わず、ただ比例関係にあるということだけを前提にし、三角関数を構築して... ということでしょうか。

円弧長については。そのとおり。
三角関数など構築せずとも、ふつうの幾何 = 「ピタゴラス」だけで比例関係を説明可、だと思います。
(ほんとは、「弧長と弦長の誤差が微少な角θ」とでも書こうとしたのですが、ちょいとトリックを…。案の定、「sin(θ)≒θ なる近似式」に引っかかりましたネ)

>そうすると、内外接多角形周長の極限値は円周長とある比例関係にあることは言えてもそれ以上は言えないように思うのですが。

いいえ、ちゃんと比例係数の順序関係を比較するのです。
もう一度、コメントを流し読みして…。

お礼

補足回答をありがとうございます。

補足

「弧長と弦長の誤差が微少な角θ」
これ自体が無条件で言えるのかが今問題にしているところです。

「円弧長は中心角θに比例して増大。
これは「日常幾何」で説明可。単位円なら比例係数が 1 。」

この文章は、「中心角と円弧長さの関係は線形である」と言っていると理解しましたが、「中心角の値は円弧の長さと同じになるように角度単位を取る」という意図でしたでしょうか。

回答No.16

178-tall

>…よりトポロジカルな手はないのでしょうかネ。

いかにも無責任なコメント。「トポロジカル」で線長を云々するのはそもそも無理なハナシ。

発想を逆転して、微小角における sin(θ)≒θ なる近似式からスタートすると…？
(他事ながら、この近似からスタートし、与えられたθにおける正弦値 sin(θ) を勘定する繰り返し算法もある)

円弧長は中心角θに比例して増大。
これは「日常幾何」で説明可。単位円なら比例係数が 1 。

他方、中心角θを見込む弦長と、円弧両端での接線からなる折れ線長は、中心角θに比例するわけない。
これも「日常幾何」で説明可。「ピタゴラス」だけで勘定できる。
四分単位円を目がけて数値実験してみると、「弦長」なら比例係数が 1 未満、折れ線長なら 1 超過。

このアプローチから、内接多角形線長 < 円弧長 < 外接多角形線長、を示せませんかネ？

お礼

議論に参加いただきありがとうございます。

補足

これは、角度あたりの円弧長は言わず、ただ比例関係にあるということだけを前提にし、三角関数を構築して... ということでしょうか。そうすると、内外接多角形周長の極限値は円周長とある比例関係にあることは言えてもそれ以上は言えないように思うのですが。

回答No.15

178-tall

>「曲線の長さは，和の極限としての定積分の考え方より」とありますので、そういう考え(定義)はいやだと言ったらそれでおしまいですよね。

「おしまい」とは言えないでしょう。
言い出しっぺがそんな弱気じゃ、「岡目」仲間も去っていきます。

積分を使わぬ手として、さしあたり「凸閉曲線」内での線長評価が残ってます。

積分を使う手は、円弧そのものの線長評価で、そのぶんハナシは明快。
そこまでの明快さは無理として、よりトポロジカルな手はないのでしょうかネ。
ほかにうまい手も見つかりませんし…。

補足

何か誤解されているようですが。
「「曲線の長さは、和の極限の..」と証明の説明を始めた人に、「和の極限だなんて何を勝手に決め付けているんだ？」と突っ込まれたらどうします？」という問いかけです。　「円弧の長さをこれこれと定義します」と改めて定義した時に、「何を言っているのだ、円弧の長さは円弧の長さだろ、別物を持ってきて長さだとは言い出したのはどういうことだ？」と問われたらどう答えますか、ということです。

回答No.14

178-tall

< ANo.12

ネット上には案外少ない。

参考 URL の「曲線の長さ」あたりはいかが？
　　↓

参考URL：

http://w3e.kanazawa-it.ac.jp/math/category/sekibun/henkan-tex.cgi?target=/math/category/sekibun/kyokusen-no-nagasa.html

補足

「曲線の長さは，和の極限としての定積分の考え方より」とありますので、そういう考え(定義)はいやだと言ったらそれでおしまいですよね。

(その定義が不適当だと論じているわけではないです。)

回答No.13

info22_

No.3です。

ANo.3の補足の回答

>面積にすれば大小関係ははっきりしますね。
面積で証明すれば大小関係は示せます。
特に、円の周長と正方形の周長による比較で証明すると指定はないと思いますが…？

>ただ、こんどは円周長と面積の関係をどう証明しましょう。
どうしても周長比較での証明をお望みであれば
一辺a=2の正方形とそれに内接する半径r=1の円の周長を比較することになります。
図形の対称性から添付図のような1/8の円の円弧の周長と正方形の1/8の部分を切り出して
　π/4＜1　...(※)
を示せば十分でしょう。
これは、円の中心に点光源を置いて円弧を正方形の辺（円の接線の直線の一部）に投影するとどの円弧の微小部分の投影長も円弧の微小部分より長くなるということから、円周より正方形の周長の方が長くなることを示す考えに基づきます。
半径r=1の1/8円の円周（円弧）をn等分した微小円弧の長さｒΔθ_n(k)＝Δθ_n(k)(k=1,...n)は全て等しく、Δθ_n=(π/4)/nとなります。k番目の微小円弧の正方形の辺（円の接線）への投影長は
ΔL(k)=r(tan(kπ/(4n))-tan((k-1)π/(4n))=tan(π/(4n)){1+tan(kπ/(4n))tan((k-1)π/(4n)}
=tan(Δθ_n){1+tan(kΔθ_n)tan((k-1)Δθ_n}
＞tan(Δθ_n)
＞Δθ_n　
(k=1,...,n)
どの微小円弧の投影長ΔL(k)も対応する微小円弧長より大きくなることが示せた。
Σ[k=1,n}Δθ_n=π/4, Σ[k=1,n]ΔL(k)=rtan(π/4)=1であるから（※）の式
1＞π/4
が示せたことになる。

これから半円の円周、正方形の1/2周長について
　π<4
が成り立つ言える。

円弧

お礼

円周率とは何かと問われたら「円の周長の直径に対する比率」とだれもが答えるでしょう。半径の二乗と面積の比だったら円面率とでも言わないと...という考えなので最終的に円の周長に紐つかないとNGだと私は思います。
と言いつつも、面積にして比較するという発想は私にはできませんでした。

どうもありがとうございました。

補足

この論法では、角度θの単位にラジアンの性質をつかっていますよね。質問文に示唆したようにラジアンを使うことが数学屋の感性からみて認められるのかしら、というところだけが気になるところです。

回答No.12

178-tall

< ANo.11

>この場合、(1)の線長積分をもって長さの定義とする、あるいは十分なだけ短い区間をとれば接線の長さと曲線の長さの差を必要なだけ小さくできる、という前提を受け入れることで始まる、という理解でよいでしょうか。

そうだとおもいます。

(1) の「線長積分」は、ふつうのテキストから流用したもので、「証明」でも覗けばそんな論証があるはず。

補足

だれもが合理的だと感じる「長さの定義」を与える話であって、公理からそれが長さだと導かれるような話ではないと考えますが。

回答No.11

178-tall

>ラジアンという概念とラジアンを単位とした三角関数を説き起こし、特定の場合の三角関数値 (たとえば arctan(1) )の値を評価する、といったアプローチが考えられますが...最初のラジアンというところで飛躍がありそうな気もします。

「線長積分」の被積分関数の大小比較をすれば、三角関数を「アンタッチャブル」にできそう。

単位円の上半分 : y = √(1-x^2) の x=0 から x=d までの「線長 Lc」は、

　　d
　∫ 1/√(1-x^2) dx　　　…(1)
　　0

他方、単位円上にて x=0 における接線を想定してみる。
その接線と、単位円の中心 (つまり原点) から x=d における円周の点 [d, √(1-d^2)] にひいた直線 y=x*{√(1-d^2)/d} との交点 P は、
　[d/√(1-d^2), 1]
だろう。
[0, 1] ～ [d/√(1-d^2), 1] の接線長 Lt は、

　　d/√(1-d^2)
　∫ 1 dx　= d/√(1-d^2)
　　0

これは、

　　d
　∫ 1/√(1-d^2) dx　　　…(2)
　　0

と等価。

(1), (2) の被積分関数を比較すれば (0, d] にて、
　1/√(1-x^2) < 1/√(1-d^2)
が成立するから、Lc < Lt なる順序関係を得る。

「円に外接する多角形」による大小比較の根拠は、この「ユル勘定」のイメージからも得られそう。

補足

この場合、(1)の線長積分をもって長さの定義とする、あるいは十分なだけ短い区間をとれば接線の長さと曲線の長さの差を必要なだけ小さくできる、という前提を受け入れることで始まる、という理解でよいでしょうか。