階段行列の一意性

質問

行基本変形を使って行列を階段行列に変形したとき、ただ一つに決まることが知られています。最も簡単な証明を教えてください。

回答No.3

stomachman · ベストアンサー

ANo.2へのコメントについてです。

> 当然

はい、もちろん当然であり、なんでそんな当然のことが分からんのぢゃというのがこの回答ですってば。

> 階段行列の主成分は１となる定義を想定

想定なさるのは勝手ですけど、それを明示なさらなくちゃ。「階段行列」のみならず「主成分」が何のことであるか、もね。

　ちなみに、もし、「n行から成る複素数値行列について、行基本変形によって、対角成分A[i,i] (1≦i≦n)がすべて1で、下三角部分A[i,j] (1≦j＜i≦n )が全て0であるような行列Aがただひとつ作れる」という話をなさってるんだとすれば、これも偽です。
　たとえば行基本変形によって
1 1 1
1 1 1
から何が得られるか、また、
1 1
0 1
に行基本変形が適用できないかどうか、お考えになれば明らかでしょう。

お礼

お礼を書く場所を間違えましたので、改めて入力します。

回りくどい証明を書いている教科書が多いので、
簡単明瞭な説明方法があるか否かをお尋ねしたい
ということが質問の意図でしたが、定義を明確に
しないで質問すること自体が無謀でした。

にもかかわらず、再三にわたって丁寧なご回答
ありがとうございました。

回答No.2

stomachman

ANo.1へのコメントについてです。

> 階段行列の定義は「行の主成分が１段ずつ階段状に下がっていくもの」（正確に記述するのは困難なのでこの表現でご容赦ください）を想定しています。

　もちろん、その話をしていますよ。1x1行列とか2x2行列を例にとってANo.1を読み直して下さいな。

補足

再度のご回答ありがとうございます。
階段行列の主成分は１となる定義を想定しています。階段行列の各行を２倍したものをカウントするのであれば、一意性が成り立たないのは当然だと思いますが。

回答No.1

stomachman

零行列でない行列Xを行基本変形を使って階段行列Yに変形し、さらにYの全ての行を2倍したものZを作ると、YもZも行基本変形を使って行列Xを階段行列に変形したものだから、「ただ一つに決まる」は偽。

お礼

回りくどい証明を書いている教科書が多いので、
簡単明瞭な説明方法があるか否かをお尋ねしたい
ということが質問の意図でしたが、定義を明確に
しないで質問すること自体が無謀でした。

にもかかわらず、再三にわたって丁寧なご回答
ありがとうございました。

補足

ご回答ありがとうございます。
階段行列の定義は「行の主成分が１段ずつ階段状に下がっていくもの」（正確に記述するのは困難なのでこの表現でご容赦ください）を想定しています。
この定義による階段行列の一意性は線形代数のいろいろな本に書かれていますが、簡単に証明する方法
があればご教示頂きたいと存じます。（これが質問の意図でした。）