連立１次方程式の解法（階段行列を利用して）

質問

連立１次方程式
　A+2B+ C-3D=-1
2A+5B -5D= 1
-3A-8B+ C+7D= a
　A- B+7C-6D= b
が解を持つようにa,bを定めて、これを解け。

という問題で、階段行列に変形して解くのですが、a=-3,b=-10まで求まるものの、Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄが求まりません。（求まらないというより、a,bを求めるために変形した階段行列が、

1 2 1 -3 -1
0 1 -2 1 3
0 0 0 0 a+3
0 0 0 0 b+10

の形になって、情報不足で、Ａ，Ｂ,Ｃ，Ｄが定まりません。）どこか間違っているのでしょうか？

回答No.4

noname#24477 · ベストアンサー

再度書き込みをさせてもらいます。
ａ，ｂは求まります。

そのときＡ，Ｂ，Ｃ，Ｄについて４つの方程式に
なるので一見解けそうに見えます。

しかし４つの式が独立ではないので２つ分の式しか
ありません。

行列式の階数が２とはそういうことです。

実際1つ目の式と３つ目の式を引き算すると
２つ目の式が作れたりします。

この４次の行列の逆行列はありません。

どれか２つの文字を使って答を表すことになります。

回答No.6

noname#24477

お礼の欄に書いておいでの答で良いんじゃないでしょうか。

Ａ＝ｘ，Ｂ＝ＹになってますからＡ，Ｂの２文字を
残した形になっていますね。

答の書き方は他にもいろいろ書き方はあると思います。

お礼

答えの確認までしていただき、ありがとうございます。
無事、解決することができました。

回答No.5

tkm

本当ですね
ojamanboさん、ありがとうございます
lion_tigerさんすいません、解はないようです
計算機に逆行列を解かしたら一応解がでたので
「でるじゃん!」と思ってしまいました…

お礼

keyguyさん、ojamanboさん、tkmさん、本当にどうもありがとうございます。（まとめてのお礼となりまして恐縮です。）
結果は、

a=-3,b=-10となり、
Ａ＝1/5・０　　＋X/5・５＋Ｙ・０
Ｂ＝1/5・０　　＋X/5・０＋Ｙ・１
Ｃ＝1/5・(－８)＋X/5・１＋Ｙ・１
Ｄ＝1/5・(－１)＋X/5・２＋Ｙ・１
(Ｘ、Ｙは任意定数)

という形で正しいでしょうか？
再度確認を求めるようで恐縮ですが、この分野の計算に自信が持てないためよろしければ確認していただけますでしょうか？

回答No.3

tkm

この問題
　　A+2B+ C-3D= -1
　 2A+5B -5D=　1
　-3A-8B+ C+7D=　a
　　A- B+7C-6D=　b
は
　　| 1　2 1 -3|　　|A|　　　|1|
A=| 2　5 0 -5|　X=|B|　 b=|1|
　　|-3 -8 1　7|　　|C|　　　|a|
　　| 1 -1 7 -6|　　|D|　　　|b|
と置くと
　Ax=b
と表されます。

No1の方の補足ですが、一次の連立方程式が解を持つためには係数行列Aと拡大係数行列[A b]の階数が等しいという条件があります。式で書くと次のようです
　rank[A]=rank[A b]
rankというのは階数のことで拡大係数行列は
　　　　| 1　2 1 -3 1|
[A b]=| 2　5 0 -5 1|
　　　　|-3 -8 1　7 a|
　　　　| 1 -1 7 -6 b|
となります。
No1の方の言うようにAの階数は2、拡大係数行列[A b]を基本変形すると
　|1 2　1 -3 1　|
　|0 1 -2　1 3　|
　|0 0　0　0 a+3 |
　|0 0　0　0 b+10|
となりますので、この行列の階数が2になるためには
第3,4行４列目成分が0になればいいので
　a=-3 b=-10
という条件がでてきます
a,bがこの値をとるときこの連立一次方程式は解を持ちます。このとき方程式は
　　A+2B+ C-3D= -1
　 2A+5B -5D=　1
　-3A-8B+ C+7D= -3
　　A- B+7C-6D= -10
です

ABCDの解ですが、今行列で表しているので解は
　Ax=b　より
　x=inv(A)*b
でもとまります。inv（A）はAの逆行列です
手計算は大変なのでscilabというソフトに計算させてみると
　　|A| 　 　　 　|-10.508399|
x=|B|=10^16×| 6.6052795|
　　|C| 　 　 　 | 4.5035996|
　　|D| 　 　 　 | 2.4019198|
になりました。ばかでかいですね…

回答No.2

noname#24477

A,B,C,D,a,bの６文字で４つの連立１次方程式ですから
解けない（文字が残る）と思います。

他の条件はありませんか？

回答No.1

keyguy

1 2 1 -3
0 1 -2 1
0 0 0 0
0 0 0 0
の階数は２

1 2 1 -3 -1
0 1 -2 1 3
0 0 0 0 a+3
0 0 0 0 b+10
を基本変形すると
1 0 0 0 0
0 1 0 0 0
0 0 0 0 a+3
0 0 0 0 b+10

これが階数2であるためには
a+3=0かつb+10=0でなければならない