ベクトルの質問です。

質問

原点Oと異なる定点A（a↑）と動点P（p↑）について、次のベクトル方程式はどのような図形を表すか。

i　a↑・（p↑‐a↑）

ii　｜p｜＾２＝p↑・a↑

この二つの図形はどのようになるのでしょうか。
また原点Oとなっていますが、中心のことではないのでしょうか。

また、iの場合、
OA↑⊥AP↑または、AP↑＝０となっているのですが、OA↑＝０にはならないのでしょうか。

ii）はPO↑⊥AP↑　または、PO↑＝０　または、AP↑＝０
となっているのですが、二つの違いはなんなのでしょうか。

解答お願いします。

回答No.6

naniwacchi · ベストアンサー

先の質問では結局どこが不明だったのでしょうか？
そのまま締め切られたようですが。

＞ii　PO↑＝０のときは点Oを表し、PA↑＝０のときは点Aを表す。
＞PからOに進むのに、点Oとあらわすのでしょうか。
＞PからOが０だから、進む方向がないから、PO↑＝０のときは、点Pを表すのかと思ったのですが・・・。
＞
＞PA↑＝０も同様です。

先の質問でも書いていましたが、
＞点Oと点Aは「定点」、点Pが「動点」です。
＞点Pが式を満たすように動いたときの軌跡を考えていることになります。

PO→＝0→は「動点Pが点Oに一致するとき」、
PA→＝0→は「動点Pが点Aに一致するとき」を表しています。

参考URL：

http://okwave.jp/qa/q8402068.html

回答No.7

178-tall

>ii　PO↑＝０のときは点Oを表し、PA↑＝０のときは点Aを表す。
>PからOに進むのに、点Oとあらわすのでしょうか。
>PからOが０だから、進む方向がないから、PO↑＝０のときは、点Pを表すのかと思ったのですが・・・。

アララ、そのままコピーしたのは軽はずみ…というわけ？

「PO↑＝０」は「ピー・オー・↑ = 零」なのだろう。
ならば、PO↑= o-p つまり p を足すと零になるベクトル。
その右辺 (o-p) が零になるのだから、p=o だろう。

「PA↑＝０」は「ピー・エー・↑ = 零」なのだろう。
ならば、PA↑= a-p つまり p を足すと a になるベクトル。
その右辺 (a-p) が零になるのだから、p=a だろう。

回答No.5

178-tall

>cf. QNo.8402241

定ベクトル a と動ベクトル p について、p-(a/2) の絶対値二乗が一定値 r^2 であれば、動ベクトル p は a/2 点を中心とし、半径 r の円を描くだろう。
すなわち、
　|p-(a/2)|^2　= |p|^2 - (p・a) + |a/2|^2 = r^2
は a/2 点を中心とし、半径 r の円を示す。

p・(p-a) = 0 なら、|p-(a/2)|^2 = |a/2|^2
a/2 点を中心とし、半径 |a/2| の円。

補足

皆様たくさんの解答ありがとうございます。
この場を借りて補足させていただきます。

iの問題でAP↑＝０になることはわかりました。
そしてそのことから直径がOAになることも理解できたのですが、
AP↑＝０のとき点Pは点Aを表す。
確かにその通りだと思います。

ii　PO↑＝０のときは点Oを表し、PA↑＝０のときは点Aを表す。
PからOに進むのに、点Oとあらわすのでしょうか。
PからOが０だから、進む方向がないから、PO↑＝０のときは、点Pを表すのかと思ったのですが・・・。

PA↑＝０も同様です。

説明が的確でなくすみません。
解答していただけると大変ありがたいです。
よろしくお願いします。

回答No.4

178-tall

>i　a↑・（p↑‐a↑）
>ii　｜p｜＾２＝p↑・a↑

たとえば a↑ は、始点が O 、終点が A とする。
以下、↑の表記を省略。
p‐a は、始点が A 、終点が P

>この二つの図形はどのようになるのでしょうか。

i　これは単なる「内積」。
　その値が零なら a・(p-a)=0 、p は a に直交する直線上を動く。

ii　p・(p-a) = 0 。
まず、QNo.8402241 をご覧。
何かがわかるヨ。

>ii）はPO↑⊥AP↑　→　始点 A 、終点 P の (p‐a) が p に直交。
>または、PO↑＝０　→　p=0 。
>または、AP↑＝０　→　p-a=0 。
>となっているのですが、二つの違いはなんなのでしょうか。↑ 上見て。

>また原点Oとなっていますが、中心のことではないのでしょうか。
何の中心？

>また、iの場合、　OA↑⊥AP↑または、AP↑＝０となっているのですが、OA↑＝０にはならないのでしょうか。
「OA↑＝0」だと、0・(p-a) = 0 。これは恒等式だから、p は何でもよいことになる。

回答No.3

bon_be

a↑・（p↑‐a↑）＝０　でよいですか？

　これはベクトルの直交条件そのものでありますので、OA↑⊥AP↑
　また、定点A（a↑）と動点P（p↑）は一致する可能性もありますので　p↑‐a↑＝０より　AP↑＝０
　原点Oと「異なる」定点A（a↑）となっているのですから、こっちは一致する可能性はないですから　a↑＝０ はないです。

｜p↑｜＾２＝p↑・a↑　でよいですか？
　等式変形をさせれば　p↑・（p↑‐a↑）＝０

　　同じように考えて　直交条件より　OA↑⊥AP↑
　　また　p↑＝０　より　PO↑＝０
　　　　　（p↑‐a↑）＝０　より　AP↑＝０

ということです。

回答No.2

spring135

i　a↑・（p↑‐a↑）

方程式になっていません。

ここでは

a↑・（p↑‐a↑）=0　　　(1)

と解釈します。

(1)はベクトルa↑とベクトルp↑‐a↑がいずれも大きさが0でない場合の直交条件そのものです。

よって、iは

(1)｜a↑｜＾２≠0かつ｜a↑-p↑｜＾２≠0のときOA↑⊥AP↑

(2)いずれかのベクトルの大きさが0

　　この場合条件より「原点Oと異なる定点A（a↑）」となっているのでa↑＝0は除外されます。

と解釈されます。

　ベクトルの表す図形は（1）は定ベクトルOA↑に垂直な直線であり、(2)はこれに含まれます。

ii ｜p｜＾２＝p↑・a↑

｜p｜＾２＝p↑・p↑であるから

p↑・p↑=p↑・a↑

すなわち

p↑・(p↑-a↑)=0

よってiと同様に

OP↑⊥AP↑　または、OP↑＝０　または、AP↑＝０

iと違うのはPO↑またはAP↑が0となる場合を排除していないということです。

　ベクトルの表す図形は定ベクトルOA↑に対し、動ベクトルOP↑がOP↑⊥AP↑を満たしながら動くということであり、絵を描けば明らかなように、OAを直径とする円周上をPは動きます。に垂直な直線であり、OP↑＝０はPが原点Oに一致した場合であり、AP↑＝０はPがAに一致した場合であってOAを直径とする円に含まれます。

回答No.1

zacky93141

i　a↑・（p↑‐a↑）= 0
a↑と(p↑-a↑)の内積が0なので、OA↑⊥AP↑または、AP↑＝0を意味します。
つまりAを通り、OAに垂直な直線です。

OA↑=0 ではない理由は、問題文で
>原点Oと異なる定点A（a↑）と動点P（p↑）
と明言しているからです。

ii　｜p｜＾2＝p↑・a↑
p↑・(p↑ - a↑) = 0
p↑と(p↑ - a↑)の内積が0なので、PO↑⊥AP↑　または、PO↑＝0　または、AP↑＝0
を意味する

これはa↑を直径とする円を意味する

>また原点Oとなっていますが、中心のことではないのでしょうか。
そう思ってもらっても差し支えありません。
基準点なので、どこでもいいのです。