中学受験の図形問題、教えてください

質問

中学入試の過去問なのですが、解答のみで解説が付いていないため、
考え方が分からず困っております。どうか教えてください、よろしくお願いいたします。

≪問題≫

正五角形ABCDEと正三角形AFGが図のように交わっている時、
アの角度の大きさからイの角度の大きさを引くと　（　　　　）度です。

（　　　　）に入る数字を答えなさい。

≪答え≫　１２度

どうして１２度になるのか？教えて頂きたく、よろしくお願いいたします。

回答No.2

lovescience · ベストアンサー

まず 方針から、

　　（方針）∠ア　－　∠イ　＝　∠ＦＡＣ

　　　　　　さらに、∠ＦＡＣ　＝　∠ＡＣＧ　－　∠ＡＦＣ

　　　　　　これらのことと、正三角形,正五角形の性質を用いて解きます。

　　（解答）

　　　　　　∠ＡＢＣ　正五角形の一つの角であるから
　　　　　　∠ＡＢＣ＝１/５　×　１８０°×（５－３）
　　　　　　　　　　＝１０８°
　　　　　　ＢＡ＝ＢＣより
　　　　　　　　∠ＢＣＡ＝１/２　×　（１８０－１０８）
　　　　　　　　　　　　＝３６°

　　　　　　∠ＡＣＧ＝∠ＢＣＤ－∠ＢＣＡ
　　　　　　　　　　＝１０８°－　３６°
　　　　　　　　　　　７２°

　　　　　　∠ＦＡＣ＝∠ＡＣＧ－∠ＡＦＣ
　　　　　　　　　　＝７２°－　６０°　　（△ＡＦＧは正三角形だから∠ＡＦＣ＝６０°）
　　　　　　　　　　＝１２°

　　　　　　∠ア－∠イ＝∠ＦＡＣ
　　　　　　　　　　　＝１２°

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　終わり。

どうでしょうか。

三角形において二つの内角の和は、隣り合わない外角に等しい
という法則は良く使うので 慣れておきましょう。

おそらく質問者さんは 中学受験者だと推測されます。
中学受験、僕も通った道です。がんばってください！

お礼

ありがとうございます。
ア、イの角度を求めようとしていたので、まったくわかりませんでした。解説を読ませて頂いて納得しました。
ありがとうございました。
受験まであと２週間ちょっとしかありません、まだまだ過去問の出来がイマイチで苦しいですが、頑張りたいと思います。

回答No.1

shuu_01

まず、正五角形は ２等辺三角形が ５つ集まった形をしています
真ん中に集まった所の角度は 360度 / 5 ＝ 72度です
残りの角の角度は （180 － 72 ）/2 ＝ 54度です
正五角形の１つの角はその２等辺三角形の２つの角が合わさってできているので、108度です
そうすると、二等辺三角形 ABC を考えると、角 ACB は （180 － 108）/2 ＝ 36度とわかります
そこで、角 ACD は 108度 － 36度 ＝ 72度です
角AFC ＋ 角 FAC ＝ 角 ACD
角AFC は 正三角形の１つの角なので 60度
それを代入すると
60度 ＋ 角 FAC ＝ 72度
角 FAC ＝ 12度です
角 ア の所の点を Ｈ、角 イの所の点を I とおくと、
三角形 AHI に着目すると
角HAI ＋ 角AIH ＝ 角AHE
とわかります
角 HAI ＝ 角FAC ＝ １２度
角 AHE　＝ 角ア
角 AIH ＝ 角イ
を代入すると
１２度 ＋ 角イ ＝ 角ア
したがって 角ア － 角イ ＝ １２度 となります

お礼

確か、先日もお世話になりましたよね。
いつも本当にありがとうございます。とてもよく分かりました。
またお世話になることがあるかも知れませんが、どうぞよろしくお願いいたします。