小学２年掛け算について

質問

小学校２年掛け算の問題。

りんごを一人に４こずつ、５人に配ります。
りんごは全部でいりますか？

答えは２０個はいいとして。

４×５＝２０　間違い
５×４＝２０　正解

交換法則ってのあるので、答えは同じ。
実は私自身、小学校の頃からこれの意味が理解できていない。
交換法則は習っていなかったけで、九九やれば自然にすべて
交換法則が成り立つこととは経験的に分かる。

多分４個をあとから掛けるので答えも２０個になる。
５人を掛けると２０人になるから間違いという理屈なんだと思うけど
これ自体が全く理解できていない。
というか、今はムカつくだけ。物理とか数学でいちいち順番をどうのこうの言わない。

すいませんが納得できる理由があれば教えてください。

回答No.16

funoe · ベストアンサー

No9のfunoeです。

＞電圧と電流はどちらを先にするべきですか？

　補足もお礼も読みました。おそらく質問者さんと基本的な考えは同じだと思いますが、さらに「算数、算数教育とは何か」を考えるエピソードを少々。

縦が３ｃｍ、横が４ｃｍの長方形の面積は、「３×４と計算して１２平方ｃｍ」でないといけない。
なぜなら、長方形の面積は「たて×よこ」だから。
高さが４ｃｍ、底辺が６ｃｍの三角形の面積は「６×４÷２と計算して１２平方ｃｍ」でないといけない。
なぜなら、三角形の面積は、「底辺×高さ÷２」だから。

質問者さんは「数学的な観点」でものを考えている、学校の先生は「小学算数教育の観点」で物を考えている。

広く日本人に意見を求めれば大多数の日本人は中学・高校で「数学教育」を受けているので「数学的観点」のほうがより多くの共感を呼ぶでしょう。
私自身も一応大学の数学科で学びましたので基本的には数学的観点でものを考えています。
ただ、数学的観点とは異なる「算数教育的観点」というものが存在することを知っています。
どちらが正しいかではなく、依って立つところが違うのです。

「大名行列の前を乗馬したまま横切る」ことをどう評価するかは「江戸時代の武士、特に薩摩藩士」と「幕末に来日中の外国人」のそれぞれの立場で異なるのです。

生麦での出来事を英国人の立場に寄り添って「突然切り殺すなど考えられない暴挙、到底許せるものではない」というのが国際的な多数意見だったのでしょうが、薩摩藩士も間違っていたわけではない・・・。

立場によって正反対の見解が同時に成り立つこともあると思います。

いま、この問題を掘り下げるならば「数学的には掛け算の順序に意味がないと主張」するのではなく、「算数教育の目的である正しい数的感覚を児童に学ばせること、を達成するために、掛け算の順序にこだわるべきが寛容に考えるか」だと思います。

お礼

＞いま、この問題を掘り下げるならば「数学的には掛け算の順序に意味がないと主張」するのではなく、「算数教育の目的である正しい数的感覚を児童に学ばせること、を達成するために、掛け算の順序にこだわるべきが寛容に考えるか」だと思います。

ちょっと話が重くなりましたね。まさかここまでエキサイトするとは思っていませんでした。

算数教育として正しい理解とはなんぞや？
つい先日に、今回の質問とは関係ないことで図書館に行きました。
（駅と図書館が近いだけの話で、単に待ち合わせ場所にしただけ）

ふと数学の本棚に、同じような著書がありましたね。
いやいや、これだけの話題に数十ページ記載してありました。
そして、幾度もネットで話題になるとも記載ありました。

ここで私が結論を出す訳にも行きませんし、その権限もありません。
ただ持論は結局動かずです。順序などどうでもいい事です。

また、少ししたら読み返して見ますね。
時期が変われば考えも変わることもあるでしょうから。
いろいろとお世話様でした。

回答No.15

shuu_01

リンゴ を ● と描くと

生徒 A　のリンゴ　● ● ● ●

生徒が ５人いたら

　　　　　４列
生徒 A　● ● ● ●
生徒 B　● ● ● ●
生徒 C　● ● ● ●　５行
生徒 D　● ● ● ●
生徒 E　● ● ● ●

ですけど

　　５列
生 生 生 生 生
徒 徒 徒 徒 徒
A B C D E
● ● ● ● ●
● ● ● ● ●　４行
● ● ● ● ●
● ● ● ● ●

と縦にしても同じなので、どっちも正解です

回答No.14

shuu_01

既にたっくさん、回答ありますが、

４×５＝２０　間違い
５×４＝２０　正解

とする先生はバカです

先生も完璧ではないので、いろいろ間違いすると思いますが、
この手の間違いはありえません

算数とか数学のセンス ゼロ です

その小学校の同僚の先生に今回の問題を提起し、
今後、生徒の納得の行くよう、注意してもらいたいです

他の先生も同僚の先生が間違いと言いにくいかもしれませんが、

僕が小学生なら 校長先生、教育委員会にクレームしちゃう所です

今回のみなら目をつぶりますが、算数、理科の他の分野でも
理解不足の説明をすると、子供の学力が伸びず、深刻な問題です

回答No.13

ORUKA1951

No.10です。
　まさに、あなたが言われている「流石に私も割り算引き算はひっくり返しません。」がこの問題のキーポイントなのです。
　私もあなたと全く同じように考えていた時期があるし、今は教壇(高校ですが)にも立っているので、高校に上がっても、まだ四則演算のこの部分に疑問がある子を目にしての経験から。

　この疑問にはふたつのテーマが含まれてます。「数学的」問題と「教育」と言う二点です。これを分けて考えないと共通の認識にはいたらないと思います。
[数学]
　四則演算には、[交換][結合][分配]が成り立ちます。それぞれの説明は省きます。
　→「抽象代数学では四則演算が自由にできる集合のことを体という。有理数の全体、実数の全体、複素数の全体などは全て体である。( http://ja.wikipedia.org/wiki/%E7%AE%97%E8%A1%93 )」
　小学校では[(抽象)代数学]については触れません。
　★今は5,6年生で記号を用いてさわりくらいは★

　そのために、すでに代数学を学んだ大人に取って疑問と思われる点がいくつもあります。
・小さい数から大きい数は引けない
・掛け算には順番がある。
・割り切れる数と割り切れない数がある。
　などが代表的なものでしょう。

　そのために「流石に私も割り算引き算はひっくり返しません。」となってしまいます。言い換えれば交換則ひとつとっても。
　A×B = B×Aだけど、A÷B≠B÷A、A+B = B+A だけど、A-B≠B-A
　もし未知数なら、AとBの大小や正負ごとに答えの出し方を何通りも覚えなきゃならない。二次方程式になると
　y = ax² + bx + c
　y = -ax² + bx + c
・・
　y = -ax² - bx + c
　y = -ax² + bx - c
・・
　y = 　　　bx + c
・・
　y = 　　　　-c
とみな答えの出し方が変わってしまう。
　そこで、代数学の最初に、数の拡張を教えます。すなわち、引き算は負数(その数に加えると0になる数)を加えること、割り算とは逆数(その数に掛け合わせると1になる数)をかけること・・負数や分数も[数]として扱う。
　それによって、[交換][分配][結合]が自在に操れるようになります。
「流石に私も割り算引き算はひっくり返しません。」じゃなく「割り算も分数の導入でひっくり返せるようになる」のです。
　a÷b を、a × (1/b)とすることで、(1/b)×a とひっくり返せるようになる!!!
すなわち、「引き算と割り算はひっくり返せません」から『(足し算)(掛け算)だけなのでひっくり返せる』ようになるのです。いちいち正負や大小を考えなくて良くなる。これは未知数--代数を扱う基本ですよね。
　二次方程式の根が、たったひとつのx={-b±√(b²-4ac)}/2a ひとつ覚えて置きゃよくなる。

　引き算、割り算はひっくり返せないけど・・・なんてより、自由に[交換][結合][分配]ができると理解させるほうが楽です。

[教育]
　確かに、数学的センスのある子にとっては、算術をスルーして早い段階から「抽象代数学」を学ばせることも出来ますしそのほうが効率的です。きちんと指導できれば、小学校で微積分や三角関数、線形代数、解析、確率や統計を身につける子供もいます。
　しかし、それについて来れる子はわずかででしょうし、指導できる数学知識がある教師も多くは無いでしょう。「中学の数学の免許は数学科を出ないと取れない。」「小学校では国語も音楽も体育も社会も一人で教える。ピアノが弾けなきゃ・・25m泳げなきゃ・・」

＞免許あるからってそれでいいのかな？これは反対。
　数学的な部分は中学校で数学を専門に学んだ教師に・・・ということです。
　もちろん、数学を体系的に指導できる指導者がいれば免許の有無にはこだわらなくて良いでしょう。

【私の経験】
　実は私は小学校時代算数の熟に行ってました。算数はとっても得意で、いわゆる「鶴亀算」「旅人算」「流水算」「並木算」・・もちろん交換や分配も知っていて、算数(と理科)はずうっと５でした。中学校で代数の初歩を学び始めたときに、初歩の代数問題は代数で解くより算数で解く方が早いし簡単でしたので・・・幾何は算数ですから得意でしたが、代数あたりの授業は寝てました(^^)。
　中学校はともかく、高校になって「さぼった」影響が応え始めて、高校の数学は低空飛行--欠点も取りました--。理系に進みたいのに・・数学が足を引っ張る。解析についても同様に幾何が得意な事が足を引っ張る・・です。一浪しましたが、その時に徹底的に中学校から数学は学び替えました。とっても苦労した経験があります。
　今、教壇にたって高校生を見ているとかっての私を見るような子がいます。小学校の算数は得意だったのに数学になって、とたんに苦手になった・・。数学だけじゃなく理科も多いですね。

お礼

なんとなく数学嫌いになりそうな話ですね。

は数字の順番とかなんちゃらかんちゃら・・・へんな理屈とか
訳のわからんこだわりで数学とか算数を難しくしていませんか・・・
というのが私の愚問なんですけど。

少し頭冷やしてからまた質問考えてみます。お世話様でした。

回答No.12

nobu1717

3です。

算数は具体的で数学は抽象的です。
数学は代数に見られるように順思考、正面突破で方程式を立ててしまえば、問題と切り離して解く作業になります。
算数は順思考と逆思考を駆使してとかなくてはなりません。具体的なものなので分かっていることから逆にたどって解くわけです。すると数学と違い計算ごとに出てくる数字の意味を完全に把握しないと思考が続かないのです。
その数字の意味を間違えないように単位の取り決め、所謂順番が重要になるのです。

数学的には計算ができれば算数の役割はあらかた終わりですから、そういう認識であれば順番や単位はあまり重要じゃないかもしれません。

あまり上手く説明できませんね(;^_^A

回答No.11

keiryu

交換法則が成り立つこととは経験的に分かる

経験的に分かることと、法則が成り立つことは別。
数えてみたら黒いカラスが100万羽居た(経験知)から、「カラスは黒」と断定はできない。
まあ、黒い鳥がカラスと定義すれば別だが。
掛け算(乗法)で前後を入れ替えて計算した結果が同じにならないものって一杯ある。

というか、今はムカつくだけ。物理とか数学でいちいち順番をどうのこうの言わない。

ムカついてもいいけど、数学では順番こそが重要なんだ。
だから、入れ替えてもいい、交換してもOK、順番をどうのこうのと言わないでいいっていうのが、「法則」になるんだよな。

補足

＞数えてみたら黒いカラスが100万羽居た(経験知)から、「カラスは黒」と断定はできない。

そんな理屈は考えてません。問題を履き違えてませんか？

＞掛け算(乗法)で前後を入れ替えて計算した結果が同じにならないものって一杯ある。

何があるのですか？あなた自体が数学知らないでは？

回答No.10

ORUKA1951

これは、とっても大事な部分です。あなたが言われる交換法則を学ぶための基礎なのです。
　交換則だけではない、分配則、結合則とセットで中学校で、数の拡張と共に四則演算のルールとして、学びます。
　まず、小学校では掛け算の意味を身につけます。
「りんごを一人に４こずつ、５人に配ります。」
この計算は足し算で表すと・・
　４個＋４個＋４個＋４個＋４個＝２０個
これを×の記号を使って、
　４個×５(回加える)＝２０個
と学び、このルールをしっかり確実に身につけてもらいます。決して
　５回＋５回＋５回＋５回＝２０回としてはならない。
　￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣
　「掛け算は、同じ数を複数回繰り返し加えること」を学ぶためには!!!

　例えば今３個りんごがあります。みんなのリンゴを加えるといくつになるか？
３個＋４個＋４個＋４個＋４個＋４個
　３個＋４個×５回は、先に掛け算をしなければならないのは、×５回の意味が
　３個＋４個＋４個＋４個＋４個＋４個　の意味だからです。

　順番を変えてはならないのは、もう一点--中学校で負数(加えると0)になる数、逆数(掛け合わせると１になる数)を学ぶことによって、
　２３－３≠３-２０　 ==⇒　２０＋(-３)＝(-３)＋２０
　２０÷５≠５÷２０　==⇒　２０×(1/5)＝(1/5)×２０
　よって未知数においても・・
　ａ＋ｂ＝b＋ａ、ａ×ｂ＝b×ａ

他にも小さい数から大きい数は引けない。
　--(中学校)-->負数の導入で可能になる。
割り切れない数がある。
　--(中学校)-->分数も数として認めることで有理数

　交換則が成り立つためには、数の拡張の概念が絶対に必要なのですよ。２÷３≠３÷２

　そのために、小学校では厳しく指導するのです。大人になった・・特に私たち理系に進んだ人は、この重要なステップを忘れてしまいがちです。

　子供達のレベルは様々です。小学校でしっかり学んでおいたことが、数の拡張や未知数の導入時点で感動とともに数学の力を実感してほしいです。
　交換だけに気を取られてはダメです。もっと重要な四則演算の「交換・分配・結合」と数の拡張も含めて一緒に学ぶべきだからです。
　時々、この大事な段階を親が横槍を入れて子供の頭を混乱させ、しいては学校で学ぶことに批判的にしてしまうことがあります。これは色々な意味で子供のためになるとは思えません。しっかりと教師をサポートしてほしいです。
　小学校の教師の全員が数学を理解している理系とは限りませんしね。これは数学の免許をもった中学校の教師に任せましょう。

お礼

＞これは数学の免許をもった中学校の教師に任せましょう。

　・・・免許あるからってそれでいいのかな？これは反対。

　うちの中学生の息子は、塾で学ぶからわかるのであって、授業では一切わからないと言っております。
　ほかにも賛同する子どもは多数です。（若手でなくて年齢だけは重ねている教師のようです）

悪いですけ、流石に私も割り算引き算はひっくり返しません。

回答No.9

funoe

まず、私自身が採点するなら「どちらも正解」にすることはご理解ください。

そのうえで、

掛け算の導入は、「繰り返しの足し算」によって行われます。

本問の場合、「４個ずつ、５人に配る」を足し算で（素直に）表現すれば、

４＋４＋４＋４＋４＝２０　　だから　掛け算表現では「４が５個ある（４＊５＝２０）」　となる

っぇのが、小学校算数の世界で一部の教師がこだわる考え方なんでしょう。

社会人なら、たとえば見積書や請求書の金額の記載では通常、「単価×数量」の順に計算されていることをご存じでしょう。これとは一致しています。

ただし、この考え方は、「日本の算数教育界での考え」であって、「数学の世界」では、「そんなの知るか！」ですし、他国の算数教育においては各国さまざまな取扱いがされているものです。同じ考えの国も逆の順が正しいと考える国もどちらでも良いとする国もあるらしいです。

教育的観点からみると「些細な一部教師のこだわりによって不正解とされた児童が算数嫌いになってしまう」弊害が大きいと考えています。

お礼

＞教育的観点からみると「些細な一部教師のこだわりによって不正解とされた児童が算数嫌いになってしまう」弊害が大きいと考えています。

これは大賛成ですね。ありがとうございます。

＞社会人なら、たとえば見積書や請求書の金額の記載では通常、「単価×数量」の順に計算されていることをご存じでしょう。

確かにそうかも。でも、私自体は理工系の人間であり物理量がどうのこうの仕事しています。
では、電圧と電流はどちらを先にするべきですか？

電圧×電流＝電力
電流×電圧＝電力

三相交流の場合、さらに力率のcosφと√3が入ってきますけどね。

すいません、回答者を批判しているわけでもないのですけど、
そもそもの質問が単純なところから来ている訳で、順番を気にする事に対して
極めて嫌悪感を持っている訳です。

極めて勝手な話ですけど、この当たりを御理解頂ければと思います。
ついつい変なこと書いて申し訳ありません。ご回答者の御気分を害してしまったかと思いますが、
今回は、失礼と思いながら私のエゴである意味私が正しいという前提で記載をしております。

御容赦下さい、

補足

funoeさんへ

ごめんなさい。

　ついつい、他のご意見を見て私がエキサイトして、訳のわからない事を記載してしまいました。
要するに私はfunoeさんが言われる様に、息子が算数嫌いになるのが嫌だったのが、
この質問のそもそもの理由です。

　ある意味私は恐らくは算数嫌いなのですね。数学は仕事で使う訳ですしここの質問でも、
たまに回答しているので、決して嫌いでもないのですけど。
　数学は数学、算数は算数ってのがどうも私には納得できないのです。

回答No.8

TANUHACHI

もし一つの可能性があるとすれば、この問題文の読み方にあると思われます。
「問題文の骨格」をとりだしてみると、どの様になるか。
(1)問題文のテーマ………「りんごを配る」
(2)その条件Ａ………「５人に配る」
(3)条件Ｂ………「一人に４個ずつとする」

　これを順番に追っていくことを数式で表すとどうなるかとの問題と同じになるかとも考えられます。すると
「りんごを配るよ」との状態を「誰に」×「Ｎ個ずつ」との条件を付けて説明していると考えることもできます。
　小学校段階ですから、先ずは「順番」をキチンと理解できているかどうかを観ているのではないかな？と僕は考えた次第です。参考にならなかったらごめんなさい。

回答No.7

noname#235638

http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%81%8B%E3%81%91%E7%AE%97%E3%81%AE%E9%A0%86%E5%BA%8F%E5%95%8F%E9%A1%8C

こいうことだと思います。

回答No.6

notnot

No2です。
あ、確かに質問文は間違ってますね。
5x4=20が間違いにされたんですよね？

おかしな採点をする先生の理屈は、想像では、
4(個/人) x 5(人) = 20(個) ではなく（そうなら交換してもOK)、
4個 ｘ 5倍 = 20個 で、「4個のかたまりが5つある」という日本語の語順にそって式にするということなのだと思います。5 x 4 = 20 だと、「5つのかたまりがあって１つのかたまりには4個ある」だと日本語として不自然。
ただし、英語だと 5 times of ～ や 5 groups of ～ と逆になります。
日本語圏と英語圏で正解・不正解が入れ替わるなど、算数としてあり得ない。

お礼

日本語と英語では数式が逆になると先日とある著書でたまたま読みました。

　英語の苦手な日本人。せめて４×５と５×４のどちらでもいいじゃないです！
・・・というか、国語で算数の式決めていませんか？の疑問が大きい。

　まあ、その当たりの反論はあったみたいですね。日本語の解釈を逆にして
それを式にする。日本語解釈を変えただけで減点
（数学的に理屈はあっている。だって４×５と５×４の違いなんだから）
　まあ、東大教授も掛け算の順番はどちらでも良いと発言して、
算数は素人だって言われたみたいだし、結構大学受験の参考とか著書もあった
Ｙ．Ｋ教授が言われたとか。「○○○○の数学者」なんて著書は３０年程前に読みましたけで、
あの教授がダメといわれるとねぇ・・・
　算数は日本のローカル科目で、数学からグローバル？になるのかな？