- 締切済み
最適化問題
max alogx1+(1-a)logx2 subject to 2x1+x2<=3 x1+x2<=2 x1,x2>=0 最適解が(x1,x2)=(1,1)となるようなaの範囲を求めよ。 いとう問題です。 私の解き方として まずラグランジュの方程式L(x1,x2,λ1,λ2) L=alogx1+(1-a)logx2+λ1( 2x1+x2-3)+λ2( x1+x2-2) dL/dx1=(a/x1)+2λ1+λ2=0 dL/dx2=((1-a)/x2)+λ1+λ2=0 上記の2式を解くと λ1=1-2a λ2=3a-2 が得られる。λ1,λ2>=0なので 1-2a>=0 3a-2>=0 ここまで、やりましたが。しかし、上記の不等式の組を満たすaは存在しません。 私のやり方にはどこが悪かったのでしょうか。 わかっていらっしゃる方、ご指摘いただければありがたく存じます。 よろしくお願いします。
- nanakoxzb
- お礼率84% (90/107)
- 数学・算数
- 回答数1
- ありがとう数1
- みんなの回答 (1)
- 専門家の回答
みんなの回答
- spring135
- ベストアンサー率44% (1487/3332)
これは高校生のほうが簡単に解いてしまうでしょう。 x1=x, x2=yとしてxy平面に絵を描いてみれば一目瞭然でしょう。 そもそも(x1,x2)=(1,1)で目的関数は0となり、最適化問題を構成しているのかどうかも怪しいと思いますがこんな問題があるのですか。
関連するQ&A
- 変分問題
オイラー・ラグランジュの方程式を導き出す途中の時点でつまづいてしまっていますorz まず、汎関数 I = ∫_(x1)^(x2) F(x,y,y')dx (x1は下底、x2は上底) を考えます。 次に、xに関する任意の関数η(x)と、小さな数αで、 Y(x) = y(x) + αη(x) なる関数を考えます。ここで、僕の持ってる書物には I(Y) - I(y) = ∫_(x1)^(x2) {F(x,y+αη,y'+αη') - F(x,y,y')}dx = α∫_(x1)^(x2) {(∂F/∂y)η + (∂F/∂y')η'}dx + ((α^2)/2)∫_(x1)^(x2) {・・・}dx という記述があったのですが、第2式から第3式へいく時の過程が上手く飲み込めません。一体、式と式の間にどのようなことがあったのか、どなたか教えていただけないでしょうか。お願いします。 まだ大学1年生の未熟者なので、変分問題解決以前の問題なのかも知れませんがorz
- ベストアンサー
- 物理学
- a>1/eのとき、lim[x->+0]x^alogx=0 を証明せよ。
a>1/eのとき、lim[x->+0]x^alogx=0 を証明せよ。 x^alogxをはさみうちして、0を示すのだろうということは予想できる。 x->+0より、x>0であるから、x^a>0,logx<0よって、x^alogx<0. あとは、□<x^alogx<0 の左辺の□の部分を何にできるかであるが、見当が つきません。どうやって、□をもとめたらよいか、よろしくお願いします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 数III微分の問題について
問題集を解いていて、解答が良くわからない問題がありました。 (1)logxをxの自然対数とする。 このとき、関数f(x)=logx/x(x>0)のグラフの概形を書け。 (2)aを正の数とする。不等式ax(x:指数)≧xa(a:指数)が、x≧a である任意のxに対して成り立つような、aの範囲を求めよ。 という問題ですが、 (2)の解答に関して、 ax(x:指数)≧xa(a:指数)⇔xloga≧alogx a>0、x>0より、 logx/x≦loga/a ∴f(x)≦f(a) x≧aとなる任意のxで、f(x)≦f(a)が成り立つのは、 (???)x≧aにおけるy=f(x)の最大値がf(a)となる場合である。 上の(???)以下の文章がよくわかりません。 わかる方、どうか教えてください。 ちなみに答えは、y=f(x)のグラフから、a≧eとなります。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- ミクロの問題(計算)です
ミクロの生産者行動の費用最小化問題の計算が合いません。 コブダグラス生産関数を持つ生産者が長期の場合、利潤最大化問題は max(y,L,K) py-wL-rK subject to y=L`α・K`(1‐α) これをλをラグランジュ乗数として、ラグランジュ関数を解きました。 p-λ=0 -w+αλL`(α-1)・K`(1-α)=0 -r+(1-α)λL`α・K`(‐α)=0 L`α・K`(1-α)-y=0 となり、1式を2、3式に代入し、2/3式をしてLをKで表し、2式に代入したところ、Kが消えてしまいました。どのようにすればL,K,Yをきちんと求められるのでしょうか?教えてください。 初めて数式の質問をさせていただいています。見にくかったらすみません。よろしくお願いします。
- ベストアンサー
- 経済学・経営学
- 対数微分法の問題が分かりません。
次の問題の解き方が分かりません。 次の関数の導関数を対数微分法を用いて求めよ。 ただし、aは定数である。 と言う問題で、x^x^aを解こうとしたのですが、 y = x^x^a logy = alogxlogx y'/y = a/x/x*(logx+1) y' = a/x/x*(logx+1)*x^x^a となり、分かりません。 答えは、(alogx+1)x^(x^a)+a-1となるようなのですが、 どなたか教えていただけないでしょうか。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 非線形計画法 主-双対問題
次のような制約付き最小化問題を考えています。 目的関数は非線形です。 min x1^2+x2^2 s.t. -x1-x2+4<=0 x1>=0 x2>=0 この問題の場合最適解は(x1,x2)=(2,2)であり、その時の目的関数値は8となります。 次に次式のような双対問題を考えます。 g(x)=-x1-x2+4とおき 双対関数 φ(u)=inf{x1^2+x2^2+u*(-x1-x2+4) : x1>=0 , x2>=0} =inf{x1^2-u*x1 : x1>=0}+inf{x2-2-u*x2 : x2>=0}+4*u 上記においてもしu>=0であれば、x1=x2=(u/2). (なぜなら、x1^2-u*x1をx1で微分するとx1=u/2となる。) u<0であるならばx1=x2-0であることに注目しますと。 φ(u)=-(1/2)*u^2+4*u for u>=0 =4u for u<0 となります. 双対関数がu>0の場合は最大がu=4であることに注目すると、その時の目的関数は8であり、主問題と双対問題の最適な目的関数値は一緒となります。 次に主問題を次のように制約を増やした最小化問題を考えます。 min x1^2+x2^2 s.t. -x1-x2+4<=0 -2*x1-3*x2<=0 x1>=0 x2>=0 これの最適解は上記の問題と同じにならないといけないのですが、 例えば、ラグランジュ関数F(x1,x2,λ1,λ2)を次のようにおき各変数で偏微分して最適解を求めると(λ:ラグランジュ乗数)、 F(x1,x2,λ1,λ2)=x1^2+x2^2+λ1*(-x1-x2+4)+λ2*(-2*x1-3*x2) 最適解はx1=12, x2=-8であり、その時の目的関数は208となり、前問と異なった解が得られました。 この原因は明確であり、ラグランジュ関数の中の各制約式が、偏微分して解を得ることで不等式制約ではなく等式制約とみなされたためです。 偏微分して解を求めなければいいのですが、どうしても偏微分でかいを求めたいために、、前門で示した双対問題を導入しましたが、結果は双対問題のほうでも偏微分するので一緒でした。 しかし、双対問題で得られた解。つまりuは主問題のλに相当し、KKT条件より必ず正である必要があるので、双対問題を解き、uが負になった制約式はの除いてそのあともう一度問題を解きなおす。つまり2番目の問題を前問に置き換える。 っといったことをして問題を解決させようとかんがえていますが、これは理論的に正しいのでしょうか。 これはほんの例題ですが、複数個の不等式制約式を扱い、かつ偏微分可能な最適化問題を解く際に、最適解に対して全てが有効制約になるとは限りませんので、どうかうまくいくアドバイスをください。
- 締切済み
- 数学・算数
お礼
ご回答ありがとうございます。 問題は大学試験の問題で、そのまま写しました。 (x1,x2)=(1,1)のときに、目的関数が最大値=0をとる そうなるようにaの範囲をもとめよ。という問題ですね。 私の説明が雑ですみません。 この問題は普通最適化問題として成立すると思いますが、というか非線形最適化のラグランジュ未定乗数法 ってみなこんな感じですね。 後は、グラフ法についてですが、z=alogx1+(1-a)logx2のグラフは私にとって描きにくいので、 この問題では考えていません。