図形の変換処理について

質問

図形の変換処理の基礎的な考え方について質問です。

ここでは、Y=X^2 の平行移動を例に質問します。

放物線の方程式Y=X^2をFとして、X軸方向に＋２移動させた方程式をGとします。

F上の任意の点を（X,Y）　：ラージエックス、ラージワイ
（X,Y）をX軸方向に＋２移動させた時の点を（x,y）　：スモールエックス、スモールワイ　　とします。
※つまり、G上の点を（x,y）とします。

（X,Y）をX軸方向に＋２移動させた際の（X,Y）と（x,y）の関係を考えるとき、
（X,Y)と（x,y）を“点”だとイメージして

x=X+2　：　x　は、XをX方向に＋２移動
y=Y　：　y　は、移動後も変わらない

が常に成り立ちます。

上記を変形すると

X=x-2　・・・(1)
Y=y　・・・(2)

となります。

さて、もともと、（X,Y）は、F上の点だから
Y=X＾2 ・・・(3)
が常に成り立ちます。

よって、(1)(2)(3)から

y=(x-2)^2　・・・（★）

が導かれ、これは(x,y)の関係式になっています。
（★）の方程式を眺めると、頂点が（2,0）の放物線を表し、
概形は　Y=X^2 と全く同じです。

つまり、（★）は、FをX軸方向に＋２移動させた図形Gであると断定されます。

以上から、放物線Gの方程式は
Y＝（X-2)＾2

であることが分かりました。

以上
（細かい言葉の使い方や文字の使い方で間違いがあればご愛嬌でお願いします。）
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さて、質問したいのは、(1)(2)(3)から（★）を導く過程です。

（X,Y）と（x,y）の関係については、
解答のプロセスで立てた仮定より(1)(2)が演繹的に導かれるのは
至極当然なので、何の疑いもありません。

そして、(3)については、これも（X,Y）の仮定から
当たり前に成り立つことが分かります。

しかし、(3)に(1)(2)を代入すると
即座にそれが求める方程式Gを表すというのが
疑問なのです。

疑問というより、狐につままれたような、
まるで魔法にかかったような気持ちになります。

なぜかと言うと、(3)はあくまでも変換前、つまりFについての方程式だったにも関わらず、
(1)(2)を入れた途端に変換後、つまりGの方程式に化けているからです。

個人的なイメージとしては、
Fの方程式(3)から（x,y）についての関係式が導かれ、
そこからある演算なりが施されてGが導かれるのが自然に思えます。

でも、実際は(3)に(1)(2)を代入した時点でGが確定しています。

何と言えばいいかわからないのですが、
不思議で仕方が無いのです。

論理の運びに矛盾を感じることはないため、
理解できないわけではないのです。

ただ、しっくりこないと言いますか・・・

(3)に(1)(2)を代入するプロセスの裏で、
ある重要な前提が成り立っている、などが
隠れているのではないか、と思えてしまうのです。

それが代数的な何かなのか、郡や環にて規定されている公理的な何かなのか、
それとも考えすぎなのか・・・

話は逸れますが、以前本格的な数学書を読んだ時、
数直線と実数の関係や、演算の公理について
高校数学では“前提”とされた厳密な公理や定義が存在していたことを知り
もやもやしてよく分からなかったことが氷解して感動したことがあります。
※例えば、「負×負＝正」や、「排中律により背理法が保証されていること」などなど・・・

今回の問題も、そんな風に思えて仕方が無いのです。
考えすぎだったら恥ずかしいですが・・・

話を戻しますと、今回は平行移動についての例で質問しましたが、
これは縮小拡大の問題や回転の問題でも応用される考え方ですよね。

極座標表示された図形の回転問題や
二次曲線（放物線、楕円、双曲線）や行列→線形代数でも
この考え方を応用しています。

ですから、ここでしっかりと図形変換の考え方について
理解しておきたいと考え、投稿しました。

丁寧に伝えようとして長文になりましたが、
気軽に相談に乗っていただけたら有難いです＾＾

同じような疑問を持っている方がもしいらっしゃれば
一緒に議論して頂いてもOKです～＾＾

何卒宜しくお願い致します。

回答No.2

Tacosan

おっと, 打ち間違えた.

「図形B を x軸方向に -2 以上したもの」は図形A でしょ?
は
「図形B を x軸方向に -2 移動したもの」は図形A でしょ?
の間違い.

お礼

訂正ありがとうございます＾＾

回答No.1

Tacosan

「図形A を x軸方向に 2 移動したもの」を図形B としたら,
「図形B を x軸方向に -2 以上したもの」は図形A でしょ?

お礼

おっしゃる通り。

だから、

X=x-2
Y=y

が常に成り立つんですよね。
なぜなら、(X,Y)は任意の点だから
X方向に＋２ずらした（x,y）も
（X,Y）が変化すれば常に成り立ちますよね。

でも、(3)の方程式って、Fの方程式ですよね。
(1)(2)を代入した途端にGの方程式になるっていうのが不思議、っていうのが今回のポイントなんです。

日本語で言えば確かに
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「図形A を x軸方向に 2 移動したもの」を図形B としたら,
「図形B を x軸方向に -2 移動したもの」は図形A
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はとても自然だし、異論無しです。

しかし、図形Aが　Y=X^2 なら
図形Bが　Y=(X-2)^2 になるということの
説明にはなっていません。

１００歩譲って、
平行移動の議論だったらまだなんとか
日本語で説明できるかもしれませんが、
極座標でθ回転させる問題や
ベクトル／行列の一次変換の議論になってくると、
どんな図形の方程式になるかを
日本語だけで説明するのは、無理でしょう。

そう考えると、
アルファベットや＝＋-などの記号を用いて
等式や不等式によって現象を説明する作業は、
複雑な現象をスッキリと理解できて素敵ですよね。

ということで、
数学っぽいプロセス（方程式などを適宜使った証明の手続き）で、
論理的にこの問題を解明したいと考えています。

引き続き宜しくお願い致します＾＾