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複素数、四元数、八元数
ta20000005の回答
超複素数の定義を満たす三元数とかはあります。しかし、よくn元数は実数、複素数、ハミルトンの四元数、ケーリーの八元数しかないと言われます。それは、次の定理があるからです。 実数を拡大した代数で (フロベニウスの定理) 交代的で除法が定義できるのは実数、複素数、ハミルトンの四元数、ケーリーの八元数に限る (フルビッツの定理) 単位元を持ちノルムの積が積のノルムに等しい |z||w|=|zw| のは実数、複素数、ハミルトンの四元数、ケーリーの八元数に限る ようは割り算もできるようにしたいならば三元数や五元数では無理で、この４つ以外はないということになります。十六元数は、0以外は逆数を持ちますが、やはり割り算はできません。その意味では十六元数は無いことになります。 証明はその手の専門書で数頁は必要です。
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