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数学を教えてください。トラブルが続く確率について
確率の求め方について教えてください。 ６人の人（Aさん、Bさん、Cさん、Dさん、Eさん、Fさん）で仕事をしているとします。 ５年で10000件の仕事があります。 10000件の仕事はランダムに６人の人に割り振られるとします。（割り振り方、仕事量は公平） ただ、この10000件のうち3件では必ずトラブルが起こるとします。（個人の能力は関係無しに） この場合、Aさんに続けてトラブルが発生する（例えば６ヶ月目にトラブルがあって７ヶ月目にまたトラブルが起こる）確率はどれぐらいになるでしょうか。 わかる方、教えていただけると助かります。 よろしくお願いいたします。
- 30neko
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- tsuyoshi2004
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まずは、発生したトラブルが同じ人に続くのは、単純にさいころの目が２回続けて同じ目になることと同じなので、１／６です。 単純にトラブルが起きる確率は１万件で３件ならば、0.0003(0.03%) ５年で１万件ならば、平均して１ヶ月で１６６件の仕事です。 １ヶ月でトラブルがない確率は、0.9997^166≒0.9514(95.14%) したがって、二月続けてトラブルが起きる確率は(1-0.9514)^2≒0.0024(0.24%) なので、ある連続した２ヶ月で同じ人にトラブルが発生する確率は 0.0024/6=0.0004(0.04%) 程度です。 ただし、面倒なので同じ月に２件以上のトラブルが発生すことなどを想定していません。
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解答の添削をお願いします。(3)の計算がちょっと自信がありません。 ある電話局管内の電話の通話時間(分)は確率変数 X で表され、その確率密度関数 f(x) は f(x) = ae^(-x/3) (0 <= x < 180) f(x) = 0 (x >= 180) である。一方通話料は 3(n-1) <= x < 3n(n は自然数) の通話時間に対して 10n 円である (1) 定数 a の値を求めよ (2)1 回の通話時間の平均値を求めよ (3)1 回の通話料の平均値を求めよ (1) ∫f(x)dx = a∫e^(-x/3)dx = -3ae^(-x/3) + C. ∫[0～∞]f(x)dx = 1 であるが、x > 180 で f(x) = 0 なので 180 ∫[0～180]f(x)dx = -3a[e^(-x/3)] 0 = -3a( e^(-60) - 1 ) = 3a( 1 - e^(-60) ) = 1. ∴a = 1/3( 1-e^(-60) ) (2)通話時間が x 分である確率は f(x) なので、平均値は 180 x*e^(-x/3) 1 180 = ∫ ────────── dx = ───────────∫x*e^(-x/3)dx 0 3( 1-e^(-60) ) 3( 1-e^(-60) ) 0 ∫xe^(-x/3)dx = ∫x(-3e^(-x/3))'dx = x(-3e^(-x/3)) - ∫(-3e^(-x/3)dx = -3xe^(-x/3) + 3∫e^(-x/3)dx = -3xe^(-x/3) + 3(-3)e^(-x/3) = -3e^(-x/3)(x+3) 180 ∫xe^(-x/3)dx = ( -3e^(-60)*183 ) - ( -3e^0*3 ) 0 = -3e^(-60)*183 + 3*3 = -3( e^(-60)*183 - 3). したがって1 回の通話時間の平均値は -3( e^(-60)*183 - 3) e^(-60)*183 - 3 3 - 183e^(-60) ─────────── = - ─────────── = ───────── 3( 1-e^(-60) ) 1-e^(-60) 1-e^(-60) (3)通話料は 3(n-1) <= x < 3n(n は自然数) の通話時間に対して 10n 円だから、n を1から60まで動かしたときの通話料と確率は 通話料 確率 n = 1 0 ≦ x < 3 : 10円 ∫[0～3]f(x) dx n = 2 3 ≦ x < 6 : 20円 ∫[3～6]f(x) dx n = 3 6 ≦ x < 9 : 30円 ∫[6～9]f(x) dx ……………………………………………………… n = 60 177 ≦ x < 180 : 600円 ∫[177～180]f(x) dx のようになるから1 回の通話料の平均値は Σ[k=1～60]10k( ∫[3(k-1)～3k]f(x)dx ) ………(#) を求めればよい。 f(x) = e^(-x/3)/3( 1-e^(-60) ) だったから ∫[3(k-1)～3k]f(x)dx = 1/3( 1-e^(-60)∫[3(k-1)～3k]e^(-x/3)dx = 1/3( 1-e^(-60) )*(-3)( e^(-k) - e^(1-k) ) = ( e^(-k) - e^(1-k) )/( e^(-60) - 1 ) (#) = 10/( e^(-60) - 1 )Σ[k=1～60]k( e^(-k) - e^(1-k) ) Σ[k=1～60]k( e^(-k) - e^(1-k) ) = e^(-1) - e^0 + 2( e^(-2) - e^(-1) ) + 3( e^(-3) - e^(-2) ) + ……………………… + 59( e^(-59) - e^(-58) ) + 60( e^(-60) - e^(-59) ) = 60*e^(-60) - ( 1 + e^(-1) + e^(-2) + …… + e^(-59) ) 1-e^(-60) = 60*e^(-60) - ────── 1-e^(-1) よって求める平均値は 10 1-e^(-60) (#) = ────────( 60*e^(-60) - ────── ) e^(-60) - 1 1-e^(-1) 600*e^(-60) 1 = ──────── + ────── e^(-60) - 1 1-e^(-1)
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お礼
とてもわかりやすいご回答ありがとうございました。