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平面について質問です。
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x+y-3z-4=0 ...(1) 5x+2y-8z-1=0 ..,(2) 2つの平行でない平面の交線は、直線になるが、3次元空間における主な交線の表現方法には次の2通りある。 [1] 媒介変数tを用いる交線の表現方法 (x,y,z)=(xo+t*v1,yo+t*v2,zo+t*v3) ...(3) [2] 媒介変数を使わない交線の表現方法 (x-xo)/v1=(y-yo)/v2=(z-zo)/v3 ...(4) ここで(xo,yo,zo)は交線上の点の座標、(v1,v2,v3)は交線の方向ベクトル である。 (1),(2)をx,yの連立方程式とみなして解けば x=(2z-7)/3,y=(7z+19)/3 ...(5) 出来るだけ簡単な整数係数の直線の方程式とするため x,yが整数となるようなzを見つける。 z=-1とおけば x=-3,y=4 と z=2とおけば x=-1,y=11 すなわち、直線(1)と(2)の交線上の2点の座標としてA(-3,4,-1)とB(-1,11,2)が得られた。 交線は、この2点をとおるから、交線の方向ベクトルは (v1,v2,v3)=B(-1,11,2)-A(-3,4,-1)=(2,7,3) 交線上の点(xo,yo,zo)は(5)を満たす点であればどんな点でもよいから、 交線の方程式の[1]と[2]の表現は無数に存在します。 例えば(xo,yo,zo)としてA(-3,4,-1)を使えば [1]の表現として(3)から (x,y,z)=A(-3,4,-1)+t(2,7,3)=(-3+2t,4+7t,-1+3t) (tは媒介変数) ...(答え) [2]の表現として(4)から (x+3)/2=(y-4)/7=(z+1)/3 ...(答え) と交線の2通りの表現の方程式がえられます。 [別解] (xo,yo,zo)としてB(-1,11,2)を使えば、 [1]の表現として(3)から (x,y,z)=B(-1,11,2)+t(2,7,3)=(-1+2t,11+7t,2+3t) ...(別解の答え) (tは媒介変数) [2]の表現として(4)から (x+1)/2=(y-11)/7=(z-2)/3 ...(別解の答え) と交線の2通りの表現の方程式がえられます。 [注]答えの式は、2の2通り以外にも無数に存在しますのでご注意願います。
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お礼
ご丁寧な解説ありがとうございました。 いろんな視点から考えれてよかったです。