万有引力について

質問

地球の中心を通って
地球を一直線に貫くマンホールみたいなのを
作って人がそのマンホールに飛び降りた場合

人は単振動をすると聞いたのですが、
ｍa=kx　の形であらわせして
それを証明できる方いらっしゃらないでしょうか。

　尚　マンホール内では空気抵抗など
　引力以外の力は一切働かない。
　地球は正確な球とする。
　その他も
　全て理想的な条件で単純に
　考えてくださいm(._.*)mペコッ

そんなことは無理です、というような解答は
ご勘弁ねがいますm(._.*)mペコッ

回答No.2

siegmund · ベストアンサー

KENZOU さんのご回答拝見しました．

> 万有引力は地球の中心に向かって働く力で，地球の中心からの距離をｘ，
> 人の質量をｍとすると，
> 人に働く万有引力は－ｍｇｘとなります
のところは少し解説と修正がいるかと思います．
地球の外側では，万有引力は距離の逆２乗の形，
すなわち 1/x^2 の距離依存性です．
じゃ，なぜ地球内部では x に比例するのか？

地球は質点ではありませんので，質量の分布を考える必要があります．
実は，その点より内側の質量が地球中心に集中したときと
同じ引力を受けることが知られています．
これは，万有引力が距離の逆２乗の依存性を持つことの帰結です．
他の距離依存性ではこうはなりません．
地球の外側なら，地球の質量が全部中心に集中したと思えばよいわけです．

では内部では？
地球の半径を R，地球全体の質量 M としますと，
x より内部の質量は (x/R)^3 M になります．
この質量が中心に集中したと考えてよいというのですから，
引力は
(1)　　- Gm(x/R)^3 M / x^2 = - GMmx/R^3
となり(G は万有引力定数)，地球表面の重力加速度 g は
(2)　　g = GM/R^3
ですから，地球内部で人に働く力は
(3)　　- mgx/R
となります．
KENZOU さんの式は R が抜けています．
重力が mg ですから，mgx では力の次元になりません．
mgx はエネルギーの次元の量です．
実際，mgx は地上でのポテンシャルエネルギーであることはよく知られています．

というわけで，運動方程式は
(4)　　ma = - kx，　　k = mg/R
ですから，結局 m は消えて
(5)　　a = - (g/R) x
で，振動数は
(6)　　ω = √(g/R)
になります．

なお，地球の質量密度は一様として考えました．
内部の方が密度が高いのでしょうが，そこは考慮に入れてありません．

また，
http://oshiete1.goo.ne.jp/kotaeru.php3?q=93834
の stomachman さんと私のやりとりは参考になるかと思います．

補足

なるほどぉ
mgxというのがよくわからず悩んでいたところ
だったから、siegumandさんの回答で
やっとわかりました。
みなさん、ありがとうございます
　ペコ m(_ _;m)三(m;_ _)m ペコ

回答No.5

keyguy

もう少し詳しく書くと

慣性系に原点を取り
万有引力定数をGとし
地球の重心位置をR=(x,y)とし
地球の質量をMとし
地球の密度を一様でρとし
人の重心位置をr=(x,y)とし
人の体重をmとし
Mr=4/3・π・|r-R|^3・ρとし
人の行くところは掘られているとしたとき

人の運動と地球の運動は
m・r"=-G・Mr・m・(r-R)/|r-R|^3
M・R"=-G・m・Mr・(R-r)/|R-r|^3
となる
辺辺足して
((m・r+M・R)/(m+M))"=0
すなわち両者の重心は動かない
(慣性系に対して等速度運動している)
先の原点をここにすればいい
また
r"=-G・(4/3・π・ρ)・(r-R)
R"=-G・(m/M)・(4/3・π・ρ)・(R-r)
である
辺辺引いて
(r-R)"=-G・(4/3・π・ρ)・(1+m/M)・(r-R)
である
ω=√(G・(4/3・π・ρ)・(1+m/M))とすると
(r-R)"+ω^2・(r-R)=0
これを初期条件r'(0)-R'(0)=0で解いて
r(t)-R(t)=(r(0)-R(0))・cos(ω・t)
である
これでもいいが慣性系からの動きを見てみると
地球と人の重心を原点に取ると
m・r(t)+M・R(t)=m・r(0)+M・R(0)=0
であるからこれを使ってr(t)やR(t)を消去して
r(t)=r(0)・cos(ω・t)
R(t)=R(0)・cos(ω・t)
を得る

(注)これはmとMが同程度に大きくても成り立つ結果である

回答No.4

keyguy

慣性系に原点を取り
万有引力定数をGとし
地球の重心位置をR=(x,y)とし
地球の質量をMとし
地球の密度を一様でρとし
人の重心位置をr=(x,y)とし
人の体重をmとし
Mr=4/3・π・|r-R|^3・ρとし
人の行くところは掘られているとしたとき

人の運動と地球の運動は
m・r"=-G・Mr・m・(r-R)/|r-R|^3
M・R"=-G・m・Mr・(R-r)/|R-r|^3
となる
辺辺足して
((m・r+M・R)/(m+M))"=0
すなわち両者の重心は動かない
(慣性系に対して等速度運動している)
先の原点をここにすればいい
また
r"=-G・(4/3・π・ρ)・(r-R)
R"=-G・(m/M)・(4/3・π・ρ)・(R-r)
である
辺辺引いて
(r-R)"=-G・(4/3・π・ρ)・(1+m/M)・(r-R)
である
ω=√(G・(4/3・π・ρ)・(1+m/M))とすると
(r-R)"+ω^2・(r-R)=0
これを初期条件r'(0)-R'(0)=0で解いて
r(t)-R(t)=(r(0)-R(0))・cos(ω・t)
である

回答No.3

KENZOU

＃１のKENZOUです。
ひやぁ～，大変失礼しました。siegmundさんのご指摘の通りです。最近すこしポカミスが多い，，，（←反省）

回答No.1

KENZOU

地球の中心を原点０とし，鉛直上方にｘ軸をとります
万有引力は地球の中心に向かって働く力で，地球の中心からの距離をｘ，人の質量をｍとすると，人に働く万有引力は－ｍｇｘとなります。
今，地球の中心を貫くマンホールに人が飛び込んだとします。ある時刻tで人が地球の中心から距離ｘのところに到達したとしますと，ニュートンの運動方程式により，マンホール内の人の運動方程式は
　ｍｘ”＝－ｍｇｘ　(1)　
となりますね。この微分方程式の一般解は
　ｘ＝Ａｃｏｓ（ωｔ＋δ），ω＝√ｇ　(2)
となり，単振動することになりますね。振動の周期は
　Ｔ＝2Π／ω＝2Π√(1/ｇ)　(3)
尚，振幅Ａ，位相δは初期条件から求まります。
(P.S)(1)の微分方程式は両辺に2x'を掛けて解いていきますね。TRYしてみてください。