上限のある重複組合わせ(?)
以下の４２個の数字から、ｎ個 抜き取った組合わせは何通りかという問題がありまして（自作）。
1, 5, 6, 6, 8, 8,10,13,13,14, 14,15,17,18,18,19,21,21,22,25,
26,27,28,28,30,30,30,30,30,31, 31,34,35,35,36,39,40,40,41,41,
41,42
総当りで出力し、カウントをするプログラムはできまして(ｎ＝0個から）
1 26 337 2902 18667 95612 405931 1468386 4616880 12809820 31736232 70875642 143789049 ・・・
という感じで答えはわかっているのですが、時間もかかるし(3sぐらい)実際の組合わせは知る必要はないので
もっと数学的に計算でできないのか、考えているんですけど解りません。
問題を簡単にして、↓のように考えたのですが、やっぱり無駄に計算量が多いような気がします。
1,1,1,1,2,2,2,3,3,4 の１０個の内 7個
４種類の数字の重複組合わせをベースとし
4 Ｈ 7 -> 4+7-1 Ｃ 7 -> 10 Ｃ 7 -> 120
・4 は、１つしかないので、2つ以上を含むパターンを除外する
4-4 確定 あと 5つを 4 Ｈ 5 -> 56
・3 は、２つしかないので、3つ以上含むパターンを除外する。
3-3-3 確定 あと4つを 4 Ｈ 4 -> 35
・2 は、 3つしかないので、4つ以上含むパターンを除外する。
2-2-2-2 確定 あと3つを 4 Ｈ 3 -> 20
・1 は、 4つしかないので、5つ以上含むパターンを除外する。
1-1-1-1-1 確定 あと2つを 4 Ｈ 2 -> 10
120-56-35-20-10 = -1
ただし、以下は重複しているので加算する。
4-4-3-3-3-*-* 10
4-4-2-2-2-2-* 4
3-3-3-2-2-2-2 1
4-4-1-1-1-1-1 1
-1 +10+4+1+1 -> 15
プログラムはすこしわかるのですが、数学はわかりません。
すぱっと数式ででるやりかたがあれば教えてください。
