確率行列 問題

質問

A,Bを確率行列とする。

この時A×Bが確率行列となることを示せ。

画像は2の(2)です。
お願いします(>_<)

回答No.2

Tacosan

A を確率行列とします.

オール1 のベクトル e に対し Ae はどうなりますか?

回答No.1

ask-it-aurora

ポイントは二重和を交換するだけですね．

A := (a[i, j]), B := (b[i, j]), C := AB =: (c[i, j]) とすると
c[i, j] = Σ_k a[i, k]b[k, j]
です．なのでこれが非負であることは明らかです．また和の交換をすれば列の和が1になることもカンタンに示せます．
Σ_j c[i, j] = Σ_j Σ_k a[i, k]b[k, j] = Σ_k Σ_j a[i, k]b[k, j]
= Σ_k a[i, k] Σ_j b[k, j] = Σ_k a[i, k] = 1.