次の変形の意味が分かりません

質問

解析力学の教科書の変形なのですが，和のあたりが分からないです。
特にx_kとx_iで偏微分するあたりです。解説していただけると助かります。

[Tex形式]
\frac{d}{{dt}}\left( {\frac{{\partial {q_j}}}{{\partial {x_i}}}} \right) = \frac{{{\partial ^2}{q_j}}}{{\partial t\partial {x_i}}} + \sum\limits_{k = 1}^{3N} {\frac{{{\partial ^2}{q_j}}}{{\partial {x_k}\partial {x_i}}}{{\dot x}_k} = \frac{\partial }{{\partial {x_i}}}\left( {\frac{{\partial {q_j}}}{{\partial t}} + \sum\limits_{k = 1}^{3N} {\frac{{\partial {q_j}}}{{\partial {x_k}}}{{\dot x}_k}} } \right)} = \frac{{\partial {{\dot q}_j}}}{{\partial {x_i}}}

(画像も添付します。)

回答No.1

hitokotonusi · ベストアンサー

何が問題なのかわからないのですが、ｑが時間と座標の関数

q = q (x1, x2, x3, ・・・・, t)

なので、そのxiによる微分(ここではq'と書く)も時間と座標の関数

∂q/∂xi = q' = q' (x1, x2, x3, ・・・・, t)

これを時間で常微分するとxも時間の関数xi = xi(t) なので

dq'/dt = (∂q'/∂x1)(dx1/dt) + (∂q'/∂x2)(dx2/dt) + (∂q'/∂x3)(dx3/dt) + ・・・・ + ∂q'/∂t
= Σj (∂q'/∂xj)(dxj/dt) + ∂q'/∂t

q' = ∂q/∂xi を代入して微分を入れ換えれば

dq'/dt = d/dt(∂q/∂xi) = Σj (∂^2/∂xi∂xj)(dxj/dt) + ∂/∂t (∂q/∂xi)
= Σj ∂/xi[(∂/∂xj)](dxj/dt) + ∂/∂xi (∂q/∂t)

dxj/dtをxj'と書くと、今はxjとxj'を独立変数にとっているのでxiの偏微分∂/xiに対してはxi'は定数として扱ってよいので

∂/xi[(∂/∂xj)] xj' = ∂/xi[(∂/∂xj)xj' ]

と書き直すことができ

dq'/dt = d/dt(∂q/∂xi) = Σj ∂/xi[(∂/∂xj) xj' ] + ∂/∂xi (∂q/∂t)
= ∂/xi { Σj [ (∂/∂xj) xj' ] + ∂q/∂t } = ∂/xi (dq/dt)

となり微分の入れ換え

d/dt(∂q/∂xi) = ∂/xi (dq/dt)

が可能。

お礼

理解の助けになりました
ありがとうございました