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微分演算子の計算

((D^2+1)^2)y=0 の解を求める方法を教えてください。

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  • alice_44
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回答No.1

(D^2 + 1)^2 y = 0. 定係数斉次線型微分方程式だから、まず 特性方程式 (λ^2 + 1)^2 = 0 を解いて λ = ±i (どちらも二重根) を得る。 特性方程式の n 重根については e^(λx), xe^(λx), (x^2)e^(λx), …, {x^(n-1)}e^(λx) が解の基底に含まれることになるから、 今回の一般解は y(x) = (C1)e^(ix) + (C2)xe^(ix) + (C3)e^(-ix) + (C4)xe^(-ix) （C1, C2, C3, C4 は初期条件できまる定数）と書ける。 オイラーの等式と定数の置換で、外見上 i を消すと、 y(x) = {(A1) + (A2)x}(cos x) + {(A3) + (A4)x}(sin x) （A1, A2, A3, A4 は初期条件できまる定数）と整理できる。

light20056
質問者

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