特殊な置換積分

質問

高校３年生です。
学校で特殊な置換積分というものを習ったのですが、いまいちコツが掴めません。

√(a^2-x^2)のときはx=asinθ（またはacosθ）、
1/(x^2+a^2)のときはx=atanθ

と置くということはわかったのですが、それでは
(1)√(x^2-a^2)のときは？
(2)√(x^2+a^2)のときは？
(3)これらの逆数のときは？

どうやるのか分かりません。。。
先述した方法以外の特殊な置換方法があるのでしょうか？

また、このような置換積分のときなぜラジアンを使わなくてはいけないのか直感的に分かりません。確かにラジアンを使わないと答えが意味不明になってしまことがあるのでおかしいということは分かるのですが、なぜラジアンだと大丈夫なのかが理解できません。
この辺りも含めて教えてくださると嬉しいです。

回答No.2

alice_44 · ベストアンサー

(1) x = a secθ とか、x = a coshθ とか。
(2) x = a tanθ とか、x = a sinhθ とか。
要するに、三角関数の公式を使って
√ が外せればいいんだから。
その方向で、頭をひねってみよう。
(3) 逆数でも、同じ。
√ が外れた後のことは、後でまた考える。

弧度法でも、度数法でも、好きな方を使って構わないけれど…
度数法だと、微積分の公式に毎度 π/180 が出てきて
煩わしいから、弧度法の方がオススメだよ
というだけの話。どちらでも、お好きに。

お礼

回答ありがとうございます。
正直secθやcodhθなどは知らないのですが・・・(*_*;
でも確かになんとなくルートが外れそうな気がします。
ルートを外すという方向性がわかっただけでも大分スッキリしました！

回答No.1

Tacosan

この辺の質問はこれまでにも何回かあったはず.

(1)～(3) はまとめて
t = x + (それ)
とおくのがトリッキーだけど高校における常套手段. なぜそうおくかというのは双曲線関数というものを調べるとわかるかもしれない.

で「なぜラジアンを使うか」というと主に「微積分との相性がいいから」ということになるかと. 弧度法でもいいんだけど, やたらと係数が出てきて面倒なんだな.

お礼

回答ありがとうございます。
なるほど、そのように置換するのですか。

ラジアンは相性がいいということで特に何も考えずに使えばいいということですね。