線形方程式系の近似 数値解析

質問

a11x1 + a12x2 + a13x3 =b1
a21x1 + a22x2 + a23x3 =b2
a31x1 + a32x2 + a33x3 =b3

という式が得られました。a11～a33、b1～b3は定数ですが、誤差を含んでいるので数学的に厳密に解けません。
もっともらしいx1～x3が欲しいのですが、数値解析で良い方法ないでしょうか？

回答No.5

foobar · ベストアンサー

未知の変数がx1,x2,x3の３個の場合、もっともらしい値を計算（最尤推定）するには、４つ以上の独立な式が必要になります。
今回、未知変数の数と式の数が同じですので、＃２さんの回答にあるようにそのまま解くことになります。

回答No.4

アウストラロ ピテクス（@ngkdddjkk）

http://atsugi5761455.fc2web.com/calking16.html
ページの一番下に3次の場合のが載ってます。導出は、2変数の時の最小自乗法と同じやり方。

x、yとa、bを入れ替えた形が質問文の形。

回答No.3

アウストラロ ピテクス（@ngkdddjkk）

いや、だから、考え方は最小自乗法と一緒じゃないの？
真値であるa11～a33、b1～b3を用意して引き算すれば、差関数が取れるよね？(x1～x3は固定)

http://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%9C%80%E5%B0%8F%E4%BA%8C%E4%B9%97%E6%B3%95
これの3変数版でしょ？？？

回答No.2

spring135

＞a11～a33、b1～b3は定数ですが、誤差を含んでいるので数学的に厳密に解けません。

誤解です。不能の場合を除き、未知数3、式3で解けます。

問題は誤差が解にどのように影響を及ぼすかを見積もることではないのですか。

解（X1,X2,X3)は一義的に定式化できるので各係数、定数を誤差の範囲で振ってみて解（X1,X2,X3)のトレンドを見て大局的なことを把握するのは最も妥当です。

＞もっともらしいx1～x3が欲しいのですが

「もっともらしい」をどう定義しますか。変なことをやるとドツボにはまって、とんでもない結果を出すことにもなりかねません。

補足

x1～x3が誤差を含んでいる可能性があるので、厳密にはx11～x33の未知数６になってしまうのです。
それでも解けますか？

回答No.1

アウストラロ ピテクス（@ngkdddjkk）

最小自乗法じゃないの？

ってか、3次の最小自乗法って参考書選ばないと載ってないよ。
webにもちょっとだけあった気がする。

補足

一次方程式です