g(x,t)=(1+x+t*x)^(-1/2)の近似

質問

f(x)=(1+x)^n はxが微小なとき
f(x)=1+nxと近似できますが、

g(x,t)=(1+x+t*x)^(-1/2)の近似はどうやればいいのでしょうか。

単純にg(x,t)=1+(-1/2)*(x+t*x)でよいのでしょうか。

なんか、t*xのところでもう一回微分がありそうな気がするのですが。

回答No.1

eiji2003 · ベストアンサー

実際テイラー展開をしてみてください。

Y=x+t*xとおくと
g(x,t)=g(Y)=(1+Y)^(-1/2)
近似すると
g(Y)=g(0)+g'(0)*Y ・・(1)

g'(Y)=d{g(Y)}/dx =(-1/2)*{(1+Y)^(-3/2)}*Y'
=(-1/2)*{(1+Y)^(-3/2)}*(1+t)
よって
これを使って(1)を変形すると、
g(Y)=g(x,t)=1+(-1/2)*(1+t)*(x+t*x)

お礼

ありがとうございます。おかげでわかりました。