近似とは何なのでしょうか?近似の定義をお教え下さい

質問

宜しくお願い致します。

例えば 実関数にせよ。f(x)≒g(x) とか5≒4.97859983…
と日頃何気なく書いたりしますよね。
でもそもそも「近似」って何と問われるとお互いが近い事と応えてしまいますが
近い・遠いは各個人の捉え方であって或る人は近いと感じても他方の人はどちらかと言えば遠いと感じてしまうかもしれません。

或る人が見ると1と100はそんなに遠く離れてないから1≒100と書いてしまうかもしれません。

記号"≒"の定義は一体何なのでしょうか?

出来ればε-δ論法での近似の定義を教えていただけましたら幸いでございます。

回答No.2

ereserve67 · ベストアンサー

そうですね．近似は相対的なもので絶対的なものではないともいえます．純粋に数学的に考えると，1/10000も1/100も1も100も10000も正の数であることには変わりはないですから，単に順序がついているとしか言いようがありません．

しかし，物理など現実を扱うとなると俄然意味を持ってきます．例えば長さの単位mがあります．人間の世界で起こる事象は大体mの100分の1から100倍程度だったら人間の目で識別できるものです．しかし，1000000分の1（1μm）だったら顕微鏡がいるでしょう．それは人間の目の解像度に限界があるからです．光学顕微鏡や電子顕微鏡は光や電子を対象物にあててその反射などを検知してその形を把握します．それは，光や電子には波長という長さがあるからです．波長と同程度の長さのものだったら反射などを通して対象物の形がわかるのです．しかし，波長よりすごく小さな対象には素通りしてしまいます．「見えない」のです．

波長の数倍程度の長さと，波長の数千分の1，数万分の1の長さは決定的に大きさが異なるわけです．見えるのと見えないのでは大いに違うわけです．

このように近似する，比較するには基準となるものがあります．ものを光で見るときは光の波長の長さを1として，その100分の1以下なら十分小さい，100倍以上なら十分大きいと考えるのが普通でしょう．もちろん，これは人によって異なるかもしれません．ある人なら10分の1以下，10倍以上というかもしれません．しかし，人間が超人でない限り，その差は50歩100歩です．

だから，一般的には100≫1であり，100.1≒100でしょう．10^{26}≒1，10^{-34}≒1と考える人はこの宇宙に住む生命体の能力を超越したような人でしょう．だから少なくとも地球人にとっては10^{26}≫1，10^{-34}≪1です．

≒の定義は地球人の能力の平均値に照らし合わせて決められるとしか言いようがありません．もっとも，数値計算の分野など精度保証が重要な分野では何らかの基準があるかもしれません．

http://ja.wikipedia.org/wiki/%E8%BF%91%E4%BC%BC

ε-δ論法とは「関数f(x)がx→aのときAに収束する」ということを

任意の正の数ε>0に対して，ある正の数δがあって，0<|x-a|<δならば|f(x)-A|<ε

と表現します．これは

近似f(x)≒Aの誤差を，xをaに近づけることによって限りなく小さくできる（εより小にできる）

ことを言っています．数学的には1も100も同じではないかということは誤差εに１や100をもってきてもよいということを意味します．しかし，人間の感覚からはやはり誤差ならまず100分の1以下でしょう．しかし，数学的にはそれではだめです．1000分の1でも10000分の1でも，10^{100}分の1でも・・・任意に小さくして可能でなければなくてはなりません．

例えばf(x)=1+x,a=0のとき，A=1ですが，

|f(x)-A|=|x|<ε

とすると，δ=ε/2とすれば0<|x|<ε/2<εとなります．εは任意に小さくできるからlim_{x→a}f(x)=Aは正しいのです．

ε-δにおける近似とは上の場合|f(x)-A|のことです．これを任意の正の数ε未満（以下でもよい）にできるかどうかです．

お礼

どうも有難うございます。
お蔭様でとても参考になりました。

回答No.1

spring135

数学の話に限定するなら近時の程度という、いわば定量化の問題に過ぎないと思います。

π≒3.14
π≒3.1416

両者とも近似値で後者の方が近似度が高いといえます。

sinx≒x
sinx≒x-x^3/6

xが小さいところではsinxをxで代用しても十分です。

数学で大事なのは近似が可能か否かということではないかとおもいます。それは収束半径の問題のように思います。

収束の速さも問題です。
sin,cos,expは極めて収束が早くてすっきりしますが、logは遅くて嫌になります。でも収束します。

お礼

早速ご回答誠に有難うございます。

"近似が可能"とはどんどん近づける事が可能という意味ですね。
幾らε>0を小さくとっても∃δ>0;|a-x|<δ⇒|f(x)-g(x)|<ε
という意味でしょうか?

多変数なら
f(w,x,y,z)≒g(w,x,y,z)とは変数w,x,y,zの内,少なくとも1つの変数(例えばy)に就いて
幾らε>0を小さくとっても∃δ>0;|a-y|<δ⇒|f(w,x,y,z)-g(w,x,y,z)|<ε
という事しょうか。

> sin,cos,expは極めて収束が早くてすっきりしますが、
> logは遅くて嫌になります。

これはexp(2)=lim_{n→∞}Σ_{k=0}^n 2^k/k! という極限が直ぐに収束すが
lim(1+3)=lim_{n→∞}Σ_{k=1}^n (-1)^{k-1}3^k/kはなかなか収束しないという事ですね?