わからない問題があります

質問

途中計算もお願いします 。

(1)周期がf(x)=x(-π≦x≦π)で定義される周期関数f(x)をFourier級数に展開せよ。
(2)(1)の結果を用いて、Leibnitzの公式
π/4=(n=0→∞)Σ(‐1)^n(1/(2n+1))
を導け。また、πの近似値3.1416を得るためには何項まで取らねばならないか調べよ。

よろしくお願いします。

回答No.1

muturajcp

(1)
f(x)=x(-π≦x≦π)
f(x)=Σ_{n=1～∞}(b_n)sin(nx)

b_n=(1/π)∫_{-π～π}xsin(nx)dx
=(1/π)([-xcos(nx)/n]_{-π～π}+∫_{-π～π}{cos(nx)/n}dx)
=(1/π)([-2πcos(nπ)/n]+[sin(nx)/n^2]_{-π～π})
=2(-1)^{n-1}/n
∴f(x)のFourier級数展開は
f(x)=Σ_{n=1～∞}2(-1)^{n-1}{sin(nx)}/n

(2)
x=Σ_{k=1～∞}2(-1)^{k-1}sin(kx)/k
x=π/2とすると
π/2=Σ_{k=1～∞}2(-1)^{k-1}sin(kπ/2)/k
π/4=Σ_{k=1～∞}(-1)^{k-1}sin(kπ/2)/k
k=2nのとき
sin(kπ/2)=0
k=2n+1のとき
(-1)^{k-1}=1
sin(kπ/2)=sin{(2n+1)π/2}=(-1)^n
だから
π/4=Σ_{n=0～∞}[sin{(2n+1)π/2}]/(2n+1)
∴
π/4=Σ_{n=0～∞}{(-1)^n}/(2n+1)

π=4Σ_{n=0～∞}{(-1)^n}/(2n+1)
4/(2n+1)<1/10000=3.14165-3.14155
40000<2n+1
20000≦n
∴
第20000項まで