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固有値
reimanの回答
- reiman
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Aをn×m行列とします。A^(転置)Aが0でない固有値を持つとき AA^(転置)はその固有値と同じ固有値を重複度同じで持つ。 に変更した方がいいでしょう. そうしないとAが零行列のときに問題が成立しない. 修正した問題ならば 行列Aの基本変形をして対角に(1,1)から(rank(A),rank(A))まで1となり 残りが0になる行列E'にすれば良い. 基本変形の正則行列をP,Qとして (PAQ)(Q^-1A^tP^-1)=E'(Q^-1A^tP^-1)とAA^tの固有多項式f(x)は同じであり (Q^-1A^tP^-1)(PAQ)=(Q^-1A^tP^-1)E'とA^tAの固有多項式g(x)は同じであり m≦n⇒f(x)=x^(n-m)g(x) n≦m⇒f(x)^(m-n)=g(x) 2行列A,BについてABとBAが定義できるとき ABが0でない固有値を持つときBAはその固有値と同じ固有値を重複度同じで持つ. も同じようにして解ける.
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