- ベストアンサー
変数係数の微分方程式の解き方
- みんなの回答 (5)
- 専門家の回答
質問者が選んだベストアンサー
- ベストアンサー
#3です。間違えました。 > 定数係数の場合だけ、g,hに関する条件として、 g+h=-P(定数) g・h=Q(定数) (6) が得られます。 > ではなく、 定数係数の場合だけ、g(x)=exp(αx),h(x)=exp(βx)(α,βも定数)の形の積分因子が得られ、α,βに対して、 α+β=-P(定数) α・β=Q(定数) (6) という条件を導けます。
その他の回答 (4)
- uchida_job_ok
- ベストアンサー率0% (0/1)
y''+P(x)y'+Q(x)y=0 変数係数2階線形斉次式の解の公式は存在しています。 超指数関数という特殊関数が定義されており、 この関数を使って、一次独立な一対の基本解が 記述されています。
一階の線形微分方程式、 y'+P(x)y=0 (1) の場合は、積の微分公式の変形、 y'+(g'/g)y=(yg)'/g (2) を利用する事によって、積分因子g(x)を、 g'/g=P(x) (3) から計算できますが、それは(3)が幸運にも変数分離形になるからです。 2階線形微分方程式、 y''+P(x)y'+Q(x)y=0 (4) の場合、同じ発想で、 (((yg)'/g)h)'/h (5) を計算する事により、P(x),Q(x)を既知関数として持つ、積分因子g(x),h(x)の連立微分方程式を導く事は可能ですが、(4)よりも難しい微分方程式になるので、たぶん非定数係数の2階線形微分方程式の形式解(求積公式)はないと思います。 定数係数の場合だけ、g,hに関する条件として、 g+h=-P(定数) g・h=Q(定数) (6) が得られます。(6)は解と係数の関係なので、これが定数係数のとき特性方程式を、 λ^2+Pλ+Q=0 (7) とおく、根拠になります。
- Knotopolog
- ベストアンサー率50% (564/1107)
>変数係数の微分方程式の解き方 2階線形常微分方程式,y''+P(x)y'+Q(x)y=0 は,P(x)とQ(x)の関数が具体的に決まらないと解く手だてがありません.y''+P(x)y'+Q(x)y=0 を一般的に解く事は出来ません.1階線形常微分方程式とは,わけが違いますので・・・.
- Tacosan
- ベストアンサー率23% (3656/15482)
公式に代入する
関連するQ&A
- 変数係数2階線形微分方程式
変数係数2階線形微分方程式の問題です。 x^2*y(x)''+2x*y(x)'-iαy(x)=0 i:複素数,α:定数 この微分方程式はどのようにして解けばよろしいでしょうか? できるだけ計算過程を詳しくお願いします。 解にはベッセル関数が用いられるみたいです。 自分でベッセルの微分方程式と同様にして解いていっても途中でつまずいてしまいます。 お手数ですがよろしくお願いしたします。
- 締切済み
- 数学・算数
- 2階変数係数線形微分方程式
(x^2)*y"-3xy'+5y=4/x この問題はオイラー型の2階変数係数線形微分方程式というようです。 この問題の解法を教えてください。お願いします。 とりあえず左辺=0と置いたときの一般解として y=(x^2)*{A*cos(log x)+B*sin(log x)} (A,Bは任意定数) までは出したのですが、特殊解の求め方が分かりません。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 偏微分方程式の解き方(補助微分方程式利用)
P(x, y)∂z/∂x+Q(x, y)∂z/∂y=0を解く際に、 補助微分方程式として、 dx/P(x, y)=dy/Q(x, y)・・・(*) を考えますが、(*)の形を思いつく過程を教えて頂けると嬉しいです。 また、1階の斉次線形偏微分方程式は、すべて(*)の形の補助微分方程式利用で解けるのでしょうか? よろしくお願いします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 未定係数法は一階の線形微分方程式にも使えるのでしょうか?
未定係数法は一階の線形微分方程式にも使えるのでしょうか? 一階の線形微分方程式の解き方は dy/dt + p(t)y = g(t) のとき e^∫p(t)dt を両辺にかけて そのあとで両辺を積分してyについて解く と習いました。 そして、未定係数法は2階の線形微分方程式を解く方法の一つとして、 習いました。 ここで疑問に思ったのが、 この未定係数法は一階の線形微分方程式にも使えるのでしょうか? だとしたら下のような手順でよいのでしょうか? 同次式: dy/dt + p(t)y = 0 の一般解を求める (積分定数が残る) 非同次式: dy/dt + p(t)y = g(t) の特殊解を求める (積分定数はない) yの一般解 = 同次式の一般解 + 特殊解 よろしくお願いします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 解けませんこの微分方程式
いつもお世話になっています。 独学でなんとか線形微分方程式や同次型まで理解しています。今 y'+(1/x)y+y^2-1/x^2=0 という方程式を解こうとしています。特殊解はとりあえず1/xが見つかりました。問題は一般解を求めるのですが、試しに最終的に求めたい 線形結合の解yをy=k+1/xとおいて(kが一般解です)代入し、 kとxの微分方程式を作りました。 果たしてここまであっているのかわからないのですが、ここから手が止まっています。また変数変換したりするのでしょうか。 わかる方詳しく教えていただけないでしょうか。お願いします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 線形微分方程式について
微分方程式の分類に関して、 線形…y(x)及びその微分について一次までのもの。 と手元の資料には書いてるんですが、 これはy(x)もしくはdy(x)/dx のみを含んでいる、ということですか? 調べてみると、斉次2階微分方程式なるものもあるようで困っています。(斉次ということは線形ですよね?2次が含まれていていいんでしょうか?)
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 微分方程式の解き方が分からず、困っています。
現在、試験に向けて微分方程式の勉強をしているのですが、下記の問題の解き方が分かりません。 教科書を参考に(1)は変数分離系、(2)は同次形、(3)は線形で解こうとしましたが、どの問題も積分するところで複雑な式になってしまい、解けれません。 分かる問題だけでも良いのでアドバイス、解き方を教えてください。よろしくお願いします。 (1)次の微分方程式の一般解を求めよ dy/dx=y^2+1 (2)次の微分方程式の一般解を求めよ y'=(y/x)(log(y/x)+1) (3)次の微分方程式の解でt=0のときx=1の条件を満たすものを求めよ x'cost+xsint=1
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 2階非同次微分方程式の問題
2階線形非同次微分方程式 y"-9y=3x^(3) 基本解y1=e^(3x),y2=e^(-3x) 基本解の定数係数の線形結合を u1(x)=a11*y1(x)+a12*y2(x) u2(x)=a21*y1(x)+a22*y2(x) とするとき、u1(x),u2(x)が2階定数係数同次微分方程式y"-9y=0の基本解となる条件を述べ、理由を説明せよ。 という問題があり、どこから手をつけたら良いかわからない状況です。どなたか教えて頂けたらと思い、質問しました。宜しくお願いします。
- 締切済み
- 数学・算数
お礼
回答ありがとうございました。