固有値の最小多項式が重根を持つ時のジョルダン標準形に変換する行列の求め方
- 最小多項式が重根を持つ場合のジョルダン標準形への変換行列の求め方について解説します。
- 普通のやり方として、固有ベクトルを求めて変換行列を作成する方法があります。
- 別のやり方として、行列の累乗を使用して変換行列を作成する方法もあります。
- ベストアンサー
固有値の最小多項式が重根を持つ時
固有値の最小多項式が重根を持つ時のジョルダン標準形に変換する行列の求め方について教えて下さい。3次の例題で示します。 A= 2 1 1 1 3 2 0 -1 1 固有値=2(3重根) B=A-2Eとして、 B= 0 1 1 1 1 2 0 -1 -1 ⇩ 0 1 1 1 0 1 0 0 0 rank(B)=2 dim(Ker(B))=3-2=1 よってジョルダン細胞は、2次が1個。 J= 2 1 0 0 2 1 0 0 2 固有ベクトルをp1=(x,y,z)として、 Bp1=0.....(1) Bp2=p1....(2) Bp3=p2....(3) を満たすp2、p3を設定すると 変換する行列をPは、 P=[p1 p2 p3] p1は、(1)より x=y=-zだから、 p1=(-1,-1,1)と設定。 (2)より、 y+z=-1 x+z=0 だから、一番簡単(x=0)にして p2=(0,-1,0)と設定。 (3)より、 y+z=0 x+z=-1 p3=(-1,0,0)と設定。 よって、 P= -1 0 -1 -1 -1 0 1 0 0 P^(-1)AP=J 以上が普通のやり方ですが、別なやり方を考えました。 以下のようにしてもいいのですか? B^2= 1 0 1 1 0 1 -1 0 -1 B^3=0 最小多項式が(λ-2)^3ということがわかりジョルダン細胞の最大次数は、3であることがわかります。 また、任意のu1=(x,y,z)に対し B^•3u1=0 が成り立ちます。 ここで、u2,u3が0ベクトルにならないように、u1を任意に設定し、次のようなu2,u3を設定します。 u2=B•u1 u3=B•u2=B•Bu1=B^2•u1....(4) (4)式の左からBをかけると B•u3=B^3•u1=0 になります。 整理すると、 Bu3=0 Bu2=u3 Bu1=u2 となり、これは、先述した Bp1=0.....(1) Bp2=p1....(2) Bp3=p2....(3) の関係と同じです。 したがって、変換行列Pは、 P=[u3 u2 u1] =[B^2•u1 Bu1 u1] となります。 u1は任意なので、 Bu1≠0、B^2•u1≠0の条件で何でもいいので u1=(1,0,0)として、 Bu1=(0,1,0) B^2•u1=(1,1,-1) よって P= 1 0 1 1 1 0 -1 0 0 P^(-1)AP=J このやり方でもいいですか?
- eieitaro
- お礼率10% (8/73)
- 数学・算数
- 回答数1
- ありがとう数0
- みんなの回答 (1)
- 専門家の回答
質問者が選んだベストアンサー
この例の場合, つまり「3次行列に対して最小多項式が 3次」の場合はいけるね. もうちょっと拡張すると「n次行列に対して最小多項式が n次」でもできる感じ. 「ジョルダン細胞が複数個ある場合」に拡張できなさそうなのが残念だけど.
関連するQ&A
- 固有ベクトル求め方
3×3行列 A= [ 7 2 2 ] [-6 -1 -6 ] [ 2 2 7 ] を対角化できるかどうか判定しなさい。 対角化できれば、対角化する行列P を1つ求めて、実際にP^(-1)AP を計算して対角化して下さい。 という問題の解法について、いまいちわからないことがあるので、質問します。 解法 まず固有値を求めます。 固有多項式は、Ψ(λ)=(λ-3)(λ-5)^2 で、λ=3、λ=5(重根)となります。 重根の場合、対角化できるか調べるために、 B=A-5Eとして、Bの階数(rank) を調べます。 B= [2 2 2] [-6 -6 -6] [2 2 2] となり、rank=1 よって、重根でも対角化できる、と結論づけて大丈夫なのででょうか? 別な判定方法として、最小多項式を求めて、これが重根ではなかったら「対角化できる」という判定方法があると思います。実際にこの問題の場合は、 (A-3E)(A-5E)=0となり、 最小多項式ψ(λ)=(λ-3)(λ-5)で重根を持ちません。 この判定方法は、前者の方法と「同値」なのでしょうか。同値であれば、その数学的理由を教えて下さい。 次に実際に固有ベクトルを求める過程での質問です。 λ=3についての固有ベクトルpは、 (A-3E)p=0 より [1] [-3] [1] と容易に求めることができます。 重根のλ=5に対する固有ベクトルの求め方について。 (A-5E)p=0 pの固有ベクトルの成分をxyzとします。 x+y+z=0となります。つまりrank=1となります。この式を満たす一次独立なベクトルを2つ見つけます。 x+y+z=0を満たす適当な数字を考えて x,y,z)=(1,1,-2)と(1,0,-1) としました。よってP= [1 1 1] [-3 1 0] [1 -2 -1] としました。そしたら、対角化できました。 しかし、一般的な解法(演習問題の解法)は、 x+y+z=0 より、x=-y-zなので、 s、tを媒介変数として、 x=-s-t y=s z=t より、 (x,y,z)=s(-1,1,0)+t(-1,0,1)と書けるので、 このλ=5に対する独立した固有ベクトルは、(-1,1,0)と(-1,0,1) である。 以上より、対角化する行列P= [1 -1 -1] [-3 1 0] [1 0 1 ] P^(-1)AP= [3 0 0] [0 5 0] [0 0 5] と対角化する、という方法をとります。わざわざ媒介変数stを使ってやるのは何故でしょうか。また、2つの固有ベクトルを直交するようにとってみました。 P= [1 1 1] [-3 -1 1] [1 0 -2] として計算したも対角化できました。結局、x+y+z=0を満たす独立なベクトルだったら、本当に何でもいいということですか?
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 8×8行列ジョルダン標準形の問題
A= [0 -1 1 0 -1 1 -1 1] [1 -3 3 0 -4 0 -2 0] [-2 1 -3 0 1 -2 1 -2] [-1 4 -4 -1 7 0 4 0] [-3 1 -3 0 0 -3 1 -3] [-2 6 -5 0 9 -2 6 -1] [3 1 1 0 3 4 0 4] [3 -6 6 0 -9 2 -6 1] のジョルダンの標準形を求め ジョルダンの標準形に相似変換する行列をを求めよ 次の解答でいいですか? 書き方も含めて、間違いを指摘して下さい。 【解答】 固有多項式 det(A-λE)= =λ^8+8λ^7+28λ^6+56λ^5+70λ^4+56λ^3+28λ^2+8λ+1 =(λ+1)^8 (二項定理の係数になってたので因数分解できました) 固有値:λ=-1(8重根) 固有値-1に対して、B=A+Eと書く。 最初にrank(B)を求める。 B= [1 -1 1 0 -1 1 -1 1] [1 -2 3 0 -4 0 -2 0] [-2 1 -2 0 1 -2 1 -2] [-1 4 -4 0 7 0 4 0] [-3 1 -3 0 1 -3 1 -3] [-2 6 -5 0 9 -1 6 -1] [3 1 1 0 3 4 1 4] [3 -6 6 0 -9 2 -6 2] ⇩(ガウスの消去法) [1 0 0 0 1 0 0 0] [0 1 0 0 1 0 1 0] [0 0 1 0 -1 0 0 0] [0 0 0 0 0 1 0 1] [0 0 0 0 0 0 0 0] [0 0 0 0 0 0 0 0] [0 0 0 0 0 0 0 0] [0 0 0 0 0 0 0 0] よって、rank(B)=4 ジョルダン細胞数の数は固有空間の次元に等しいので、 dim(Ker(B))=8-rank(B)=4個 次にジョルダン細胞の次数を求める。 (m+1)次以上のジョルダン細胞の数は、 rank(A-λE)^m-rank(A-λE)^(m+1) で与えられるから、 rank(B)-rank(B^2)の値が2以上のジョルダン細胞の数を与えるから、B^2を計算。 B^2= [-1 0 -1 0 0 -1 0 -1] [-1 0 -1 0 0 -1 0 -1] [1 0 1 0 0 1 0 1] [2 0 2 0 0 2 0 2] [1 0 1 0 0 1 0 1] [4 0 4 0 0 4 0 4] [0 0 0 0 0 0 0 0] [-4 0 -4 0 0 -4 0 -4] ⇩ [1 0 1 0 0 1 0 1] [0 0 0 0 0 0 0 0] [0 0 0 0 0 0 0 0] [0 0 0 0 0 0 0 0] [0 0 0 0 0 0 0 0] [0 0 0 0 0 0 0 0] [0 0 0 0 0 0 0 0] [0 0 0 0 0 0 0 0] よって、rank(B^2)=1 rank(B)-rank(B^2)=4-1=3 2次以上のジョルダン細胞数は3個。 8次の中にジョルダン細胞数が合計で4個、2次以上が3個なので、 ジョルダン細胞の直和は、1次+2次+2次+3次という形になる。 Aの相似形を「~」で書くと、ジョルダン標準形は、次数の低い方からの直和で(➕は、+の丸囲みです) A~J(-1,1)➕J(-1,2)➕J(-1,2)➕J(-1,3) J= -1 0 0 0 0 0 0 0 0 -1 1 0 0 0 0 0 0 0 -1 0 0 0 0 0 0 0 0 -1 1 0 0 0 0 0 0 0 -1 0 0 0 0 0 0 0 0 -1 1 0 0 0 0 0 0 0 -1 1 0 0 0 0 0 0 0 -1 次に固有ベクトルを求める。 求める固有ベクトルを p=[p1 p2 p3 p4 p5 p6 p7 p8]^t (^tは、転置行列)と書く。 p=(p1,p2,p3,p4,p5,p6,p7,p8) (列ベクトルの記述です) として、固有ベクトルを求める Bp=0 [1 0 0 0 1 0 0 0]p=0 [0 1 0 0 1 0 1 0]p=0 [0 0 1 0 -1 0 0 0]p=0 [0 0 0 0 0 1 0 1]p=0 p1+p5=0 p2+p5+p7=0 p3-p5=0 p6+p8=0 p4=任意 t,s,u,vを媒介変数として p=t(-1,0,1,0,1,0,-1,0)+s(0,-1,0,0,0,0,1,0)+u(0,0,0,1,0,0,0,0)+v(0,0,0,0,0,1,0,-1) 独立した固有ベクトルは、 (-1,0,1,0,1,0,-1,0) (0,-1,0,0,0,0,1,0) (0,0,0,1,0,0,0,0) (0,0,0,0,0,1,0,-1) の4つだが、 1次ジョルダン細胞に対するものを一番簡単な(0,0,0,1,0,0,0,0)にする。 それをx=[0 0 0 1 0 0 0 0]^t (転置)と書く。 By≠0、Bz≠0、Bu≠0、B^2u≠0の条件で y=[1 0 0 0 0 0 0 0]^t z=[0 1 0 0 0 0 0 0]^t u=[0 0 1 0 0 0 0 0]^t を設定すると、変換行列Pはジョル細胞の低い方をからの直和に合わせ P=[x By y Bz z B^2•u Bu u] P= 0 1 1 -1 0 -1 1 0 0 1 0 -2 1 -1 3 0 0 -2 0 1 0 1 -2 1 1 -1 0 4 0 2 4 0 0 -3 0 1 0 1 -3 0 0 -2 0 6 0 4 -5 0 0 3 0 1 0 0 1 0 0 3 0 -6 0 -4 6 0 P^(-1)= 0 0 0 1 34 28 16 37 0 0 0 0 4 4 2 5 1 0 0 0 1 2 0 2 0 0 0 0 -8 -9 -3 -11 0 1 0 0 1 -1 1 -1 0 0 0 0 9 12 3 14 0 0 0 0 -4 -3 -2 -4 0 0 1 0 -1 -1 0 -1 P^(-1)AP=J になる。
- 締切済み
- 数学・算数
- 固有ベクトル
次の行列の正規化させた固有ベクトルを求めたいのですが、行き詰ってます。 (0 2 0) (2 0 2) (0 2 0) 固有値を求めると、λ=0、-2、2でした。 λ=0の時を考えると、 (0 2 0) (2 0 2) (0 2 0) 2y=0 2x+2z=0 λ=2の時を考えると (-2 2 0) (2 -2 2) (0 2 -2) -2x+2y=0 2x -2y +2z=0 2y -2z=0 λ=-2の時を考えると (2 2 0) (2 2 2) (0 2 2) 2x+2y=0 2x+2y+2z=0 2y +2z=0 となります。ここまではできるのですが、ここからどのように展開していけばよいのかわかりません。3×3の正方行列の固有ベクトルの求め方って、何かコツとかあるのでしょうか?お願いします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 5次の行列式の解き方(固有多項式)
5次の行列式の解き方を教えてください。4次の解き方は過去の質問を見て理解できたのですが、5次については探してみたところのっていなかったので・・・。 行列Aを 0,0,0,0,1 0,0,0,1,0 0,0,1,0,0 0,1,0,0,0 1,0,0,0,0 とし、この固有多項式を求めると |xE-A|は x,0,0,0,-1 0,x,0,-1,0 0,0,x-1,0,0 0,-1,0,x,0 -1,0,0,0,x となり、これを解くと (x-1)x^4 - 2(x-1)x^2 + (x-1) = (x-1)^3 * (x+1)^2 となるようなのですが、どうしたらこうなるのかわかりません。 計算過程ものせてもらえると助かります。よろしくおねがいします。
- 締切済み
- 数学・算数
- 行列の固有ベクトルについて
行列A = (2 1 1 ) の固有値を求めたらλ=3(三重解)になりました。 (0 3 0 ) (-1 1 4) この行列の独立な固有ベクトルとしてp1=(1 0 1) 及びp2=(1 1 0)をとりました。 更に行列Aをジョルダン標準形にするために p3=(0 1 0)をとって、変換行列 P = (p1 p2 p3)と その逆行列によって行列Aを変換したのですが、ジョルダン標準形になりませんでした。 ところが試しにp2 = (0 1 -1)としてみたところ、ジョルダン標準形に変換できました。 p2=(1 1 0) とすることと p2 = (0 1 -1) とすることの差はなんなのでしょうか。 どちらも独立な固有ベクトルのように思うのですが・・・
- 締切済み
- 数学・算数
- 固有多項式を用いた2次の場合のハミルトン・ケーリーの証明
成分でやれば証明をするだけならできますが、固有多項式を用いて示す設定になっています>< 問:2次行列Aに対してAの固有多項式を f[A](λ)=λ^2+αλ+β とすると A^2+αA+βI=0(I:2次単位行列、0:零行列)が成り立つことを示せ。 まったく何をすればよいのかわからないのですが、教えていただけませんか? よろしくお願いします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 行列の固有値と対角化
次の行列Aの固有値と固有ベクトルを求め、正則行列Pをもとめよ。 A= 0 1 -2 -3 で|A-λE|= -λ 1 -2 -3-λ より -λ(-3-λ)+2=3λ+(λ^2)+2 =(λ+1)(λ+2) よってλ=-1、-2 λ=-1に属する固有ベクトルは y=-xより(x、y)=α(1、-1) λ=-21に属する固有ベクトルは y=-2xより(x、y)=β(1、-2) これより正則行列Pは 1 1 -1 -2 になると思ったのですが、答えを見ると 1 -1 -1 2 とありました。どうしてでしょうか?
- 締切済み
- 数学・算数
- 行列の固有ベクトル
(2 1 0) (1 3 1) (0 1 2) この3×3行列の固有ベクトル(大きさ全て1)を求める問題ないのですが、わからないことがあります。以下に自分の回答を載せます。尚、転地行列は t(~) の形で書くことにします。 ーーーー解答ーーーーーー 固有値λ=1,2,4 λ=1のとき、 (0 1 0)(x) (x) (1 0 1)(y) = (y) (0 1 0)(z) (z) 1番目と3番目から x=y=z 2番目も考慮して x=y=z=0 (∵例えば、2番目の式にy=xを代入するとx+z=x ∴z=0 よってz=x=y=0) よって、求める固有ベクトルはP1=t(0 0 0) 問題の部分はここからです。 λ=2のとき、 (0 1 0)(x) (2x) (1 0 1)(y) = (2y) (0 1 0)(z) (2z) 1番目と3番目から y=2x=2z -I 2番目から x+z=2y -II これを満たすt(x y z)の組が無いように思います。 例えば、x=z=1のとき、Iよりy=2、 しかし、x=z=1をIIに代入すると、y=1で矛盾します。 私が考え違いをしているのだと思いますが、それが何かがわかりません。 どなたかご教授の程よろしくお願いします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 固有値についての質問です(わかりづらい文かもしれません^^;)
行列A{0 1 -1} {1 0 1} {-1 1 0} についてその固有値と固有空間の基底と次元を求める問題をやっていて固有値をといたところ-2と1(重複度2)と出て、-2のときの基底と次元は容易に出せたのですが1のときに-2と同じように (A-I)*X=0 X=(x y z) すなわち -x+y-z=0、x-y+z=0、-x+y-z=0をとこうとしたら解がいくつも考えられてしまって混乱してしまいました結局回答を見たところこの方程式を解くと X=b<1 1 0>+c<-1 0 1>となるらしいのですが、このXを求める方法がわかりません参考書をみても結果しか書いていないので困ってますどうかわかる方 教えていただけるとうれしいです
- ベストアンサー
- 数学・算数
- ジョルダン標準形が求められません><
以下の行列のジョルダン標準形が求められずに困っています。 A = (-1 0 0) (-3 -6 -5) ( 3 5 4) 固有値λはλ = ー1 のみでした。 それに対する固有ベクトルv = (x, y, z)(転置)が、 (A + λE)v = ( 0 0 0)(x) (0) (-3 -5 -5)(y) =(0) ( 3 5 5)(z) (0) より 3x + 5y + 5z = 0 を満たすことから (x, y, z) = (-5, 3, 0), (5, 0, -3) としました。 残る1本の一般固有ベクトルは、 ( 0 0 0)(x) (-5) ( 5) (-3 -5 -5)(y) = a( 3) + b( 0) ( 3 5 5)(z) ( 0) (-3) が解を持つように a, b を定めたときの解なので、 a = b = 1 とすると、 (x, y, z) = (-1, 0, 0) は条件を満たすのでこれを最後の一般固有ベクトルとしました。 これらをならべて、変換行列Sを S = (-5 5 -1) ( 3 0 0) ( 0 -3 0) としました。 しかし、 (S^-1)AS = (-1 0 1) ( 0 -1 1) ( 0 0 -1) となってしまいます。 どなたか、どこが間違っているのかご教授ください。お願いします。
- ベストアンサー
- 数学・算数