独立試行・期待値・確率の問題です。

質問

独立試行・期待値・確率の問題です。
この分野は病気で学校を休んでいた事もあり、習っていない解き方や問題のものもあって、とても苦手です。
解答解説お願い致しますm(_ _)m

(1)3個の選択肢の中から正解を1つ選ぶ問題が5問ある。
5問ともでたらめに選択する時、少なくとも1問が正解である確率は[???]であり、3問以上正解である確率は[???]である。

(2)赤玉10個と白玉5個の入っている袋から1個の玉を取り出し、色を見て袋に戻す。
この試行をどちらかの色が3回取り出されるまで繰り返す時、
赤玉の取り出される回数が1回である確率は[???]であり、
赤玉の取り出される回数が2回である確率は[???]である。

(3)AとBが試合をして、先に3勝した方が優勝とする。
AがBに勝つ確率を2/3とするとき、
Aが優勝する確率を求めよ。ただし、引き分けは無いとする。

(4)サイコロの目によって賞金額が決まる福引で、賞金額が、奇数の目が出た場合には100円に目の数の3乗を掛けたもので、
偶数の目が出た場合には200円に目の数の2倍を掛けたもので決まるとする。
この福引を1回引く時の賞金額の期待値を求めよ。

(5)1から6までの番号札がそれぞれ番号の数だけ用意されている。
この中から1枚を取り出す時、次のどちらが有利か。
A.出た番号と同じ枚数の100円玉をもらう。
B.偶数の番号が出た時だけ一律に700円をもらう。

(6)J,A,P,A,N,E,S,Eの8個のアルファベットを横1列に並べてできる順列の総数は[???]通りであり、
このうち、両端が母音であるものは[???]通りである。

(7)赤玉が4個と白玉が2個入った袋がある。
いま、この袋から同時に玉を2個取り出す。
このとき、赤玉を2個取り出す確率は[???]である。

(8)赤玉、白玉、青玉がそれぞれ3個ずつ入っている袋がある。
この袋から3個の玉を同時に取り出す時、次の確率を求めよ。
A.赤玉、白玉、青玉が1個ずつである確率。
B.少なくとも1個は赤玉である確率。

(9)3つのサイコロを同時に投げる時、出た目が全て異なる確率は[???]である。
また、3つとも4以下の目が出る確率は[???]であり、
出た目の最大値が4となる確率は[???]である。

問題は以上です。
この他にも問題はあったのですが、なんとか理解して自分で解けましたが、
この問題だけは考え方が良く分からず、手がつかない状態です。
よろしくお願い致しますm(_ _)m

回答No.2

yyssaa

(1)3個の選択肢の中から正解を1つ選ぶ問題が5問ある。
5問ともでたらめに選択する時、少なくとも1問が正解である確率は[???]であり、3問以上正解である確率は[???]である。
＞正解の確率=1/3、不正解の確率=1-1/3=2/3
5問とも不正解の確率=(2/3)^5=32/243
よって、少なくとも1問が正解である確率は1-32/243=[211/243]・・・答
1問正解4問不正解の確率=5C1(1/3)(2/3)^4=80/243
2問正解3問不正解の確率=5C2(1/3)^2(2/3)^3=80/243
よって、3問以上正解である確率は1-32/243-80/243-80/243=[17/81]・・・答

(2)赤玉10個と白玉5個の入っている袋から1個の玉を取り出し、色を見て袋に戻す。
この試行をどちらかの色が3回取り出されるまで繰り返す時、
赤玉の取り出される回数が1回である確率は[???]であり、
＞赤玉の取り出される10/15=2/3、白玉の取り出される5/15=1/3
1～3回までに赤玉1個白玉2個が取り出される確率=3C1(2/3)(1/3)^2=2/9
4回目に白玉が取り出される確率=1/3
よって、赤玉の取り出される回数が1回である確率は(2/9)*(1/3)=[2/27]・・・答
赤玉の取り出される回数が2回である確率は[???]である。
1～3回までに赤玉2個白玉1個が取り出される確率=3C2(2/3)^2(1/3)=4/9
4回目に白玉が取り出される確率=1/3
よって、赤玉の取り出される回数が2回である確率は=(4/9)*(1/3)=[4/27]・・・答

(3)AとBが試合をして、先に3勝した方が優勝とする。
AがBに勝つ確率を2/3とするとき、
Aが優勝する確率を求めよ。ただし、引き分けは無いとする。
＞Aの3連勝の確率=(2/3)^3=8/27
Aの3勝1敗の確率=3試合でAが2勝する確率×4試合目にAが勝つ確率
=3C2(2/3)^2(1/3)*(2/3)=8/27
Aの3勝2敗の確率=4試合でAが2勝する確率×5試合目にAが勝つ確率
=4C2(2/3)^2(1/3)^2*(2/3)=16/81
よって、Aが優勝する確率は(8/27)+(8/27)+(16/81)=64/81・・・答

(4)サイコロの目によって賞金額が決まる福引で、賞金額が、奇数の目が出た場合には100円に目の数の3乗を掛けたもので、
偶数の目が出た場合には200円に目の数の2倍を掛けたもので決まるとする。
この福引を1回引く時の賞金額の期待値を求めよ。
＞1の目:100*1^3=100、2の目:200*2*2=800、3の目:100*3^3=2700
4の目:200*4*2=1600、5の目:100*5^3=12500、6の目:200*6*2=2400
よって、この福引を1回引く時の賞金額の期待値は
(1/6)*{100+800+2700+1600+12500+2400}=3350(円)・・・答

(5)1から6までの番号札がそれぞれ番号の数だけ用意されている。
この中から1枚を取り出す時、次のどちらが有利か。
A.出た番号と同じ枚数の100円玉をもらう。
B.偶数の番号が出た時だけ一律に700円をもらう。
＞番号札は全部で1+2+3+4+5+6=21枚
Aの場合の期待値は(1/21)(100+200*2+300*3+400*4+500*5+600*6)=約433(円)
Bの場合の期待値は(1/21)(2+4+6)*700=400(円)
よって有利なのはA・・・答

(6)J,A,P,A,N,E,S,Eの8個のアルファベットを横1列に並べてできる順列の総数は[???]通りであり、
＞8!/(2!*2!)=10080通り・・・答
このうち、両端が母音であるものは[???]通りである。
＞A******Aの*にJ,P,N,E,S,Eの6文字が並ぶ6!/2!=360通り
E******Eの*にJ,A,P,A,N,Sの6文字が並ぶ6!/2!=360通り
A******Eの*にJ,P,A,N,S,Eの6文字が並ぶ6!=720通り
E******Aの*にJ,P,A,N,S,Eの6文字が並ぶ6!=720通り
よって、両端が母音であるものは360*2+720*2=2160通り・・・答

(7)赤玉が4個と白玉が2個入った袋がある。
いま、この袋から同時に玉を2個取り出す。
このとき、赤玉を2個取り出す確率は[???]である。
＞(4/6)*(3/5)=2/5・・・答

(8)赤玉、白玉、青玉がそれぞれ3個ずつ入っている袋がある。
この袋から3個の玉を同時に取り出す時、次の確率を求めよ。
＞各色の玉に1～3の番号を付けて考えると、全ての場合の数は、
同色3個が3通り。同色2個が3C2*3*6=54通り。各色1個が27通りの
合計84通り。
A.赤玉、白玉、青玉が1個ずつである確率。
27/84=9/28・・・答
B.少なくとも1個は赤玉である確率。
青3個が1通り、白3個が1通り、青2個白1個が9通り、白2個青1個9通り。
よって1-(1+1+9+9)/84=16/21・・・答

(9)3つのサイコロを同時に投げる時、出た目が全て異なる確率は[???]である。
＞(5/6)(4/6)=5/9・・・答
また、3つとも4以下の目が出る確率は[???]であり、
＞(2/3)^3=8/27・・・答
出た目の最大値が4となる確率は[???]である。
4が3個:(1/6)^3=1/216
4が2個で3以下が1個:3C2(1/6)^2(1/2)=1/24
4が1個で3以下が2個:3C1(1/6)(1/2)^2=1/8
(1/216)+(1/24)+(1/8)=37/216・・・答

回答No.1

muturajcp

(1)
全問不正解である確率は
(2/3)^5=32/243
だから
少なくとも1問が正解である確率は
1-(2/3)^5
=1-32/243
=211/243
であり、3問以上正解である確率は
5C3(1/3)^3(2/3)^2+5(1/3)^4(2/3)+(1/3)^5
=51/3^5
=17/81
である。

(2)
赤玉の取り出される回数が1回である確率は
3(2/3)(1/3)^3
=2/27
であり、赤玉の取り出される回数が2回である確率は
4C2(2/3)^2(1/3)^3
=8/81
である。

(3)
Aが優勝する確率は
(2/3)^3+3(1/3)(2/3)^3+4C2(1/3)^2(2/3)^3
=64/81

(4)
この福引を1回引く時の賞金額の期待値は
{100(1+3^3+5^3)+200*2(2+4+6)}/6
=3350

(5)
A.出た番号と同じ枚数の100円玉をもらう期待値は
100(1+4+9+16+25+36)/21
=1300/3
=433+(1/3)
B.偶数の番号が出た時だけ一律に700円をもらう期待値は
700*/2
=350
1300/3>350だから
Aの方が有利である

(6)
J,A,P,A,N,E,S,Eの8個のアルファベットを横1列に並べてできる順列の総数は
8!/2/2
=8*7*6*5*3*2
=10080
通りであり、このうち、両端が母音であるものは
3*6!
=2160
通りである。

(7)
このとき、赤玉を2個取り出す確率は
(2/3)(3/5)
=2/5
である。

(8)
A.赤玉、白玉、青玉が1個ずつである確率は
6(1/3)(3/8)(3/7)
=9/28
B.少なくとも1個は赤玉である確率は
1-(2/3)^3
=19/27

(9)
3つのサイコロを同時に投げる時、出た目が全て異なる確率は
(5/6)(2/3)
=5/9
である。
また、3つとも4以下の目が出る確率は
(2/3)^3
=8/27
であり、出た目の最大値が4となる確率は
(2/3)^3-(1/2)^3
=7/24
である。