棒が釣り合う条件

質問

半径がaの空洞の半球があります。
この半球の空洞側を上にして、机の上に固定します。そして、半球の淵に2sの長さのまっすぐで均一な棒を半球の直径上に置きます。もし、棒の中心(重心)が半球の外側にあったら 、棒は半球の外側に滑り落ちます。
ここで、問題ですが、この棒が半球の淵にとどまり、棒の端が半球の内側に引っかかり、バランスがとれる時、aとsの関係を求めて下さい。
棒の端と半球の内側の面との摩擦は0とします。

回答No.1

Quarks · ベストアンサー

淵に掛かった状態になっているとき、添付図の様になっていたとします。
棒に掛かる力の釣り合いの条件から
棒に平行な方向の釣り合いから
　Ｔ・cosθ＝Ｗ・cosδ
２つの角度には
　δ＝90°－θ
の関係があるので
　Ｔ・cosθ＝Ｗ・cos(90°－θ)＝Ｗ・sinθ
∴Ｔ＝Ｗ・tanθ　　式（ア）

棒に垂直な方向の釣り合いから
　Ｆ＋Ｔ・sinθ＝Ｗ・sinδ
　Ｆ＋Ｔ＝Ｗ・cosθ　
式（ア）を適用すると
　Ｆ＝Ｗ・(cosθ－tanθ)　　式（イ）

Ａ点のまわりのモーメントの和＝０　より
　Ｗ・ｓ・cosθ＝Ｆ・ｂ
△ＯＡＢが二等辺三角形なので
　ｂ＝ＡＢ＝２・(ａ・cosθ)
が成り立つので
　Ｗ・ｓ・cosθ＝Ｆ・２・(ａ・cosθ)
∴Ｗ・ｓ＝２・Ｆ・ａ　　式（ウ）

式（イ）,（ウ）より、ｓ，ａ，θ　の関係式を求めることができます。
でも、これってかなり面倒ですよね。そこで、見方を変えてみましょう。
以下は、別解法です。

棒が安定しているということはどのようなことでしょうか？
それは、重心位置が、可能な範囲内で、最も低い位置に在る、ということです※。
※　棒の、重力による位置エネルギーが最小になるということです。重力空間で、物体が最も安定するのは、重力による位置エネルギーが最小になっているときです。

添付図で言うと、ｈが下向きに最大となる条件を求めれば良いということです。
実際の計算に移る前に、いろいろイメージしてみましょう。
棒が水平方向とのなす角度θは、(何も考えなければ)０°以上９０°以下になります。
θ＝０°のときには、重心位置はＢの高さに在ります。
θ＝９０°のとき（これは、Ａ端がＢの位置に来て、それが棒の下端となることですから)ＧはＢよりｓだけ高い位置になります。
０＜θ＜９０°　では、添付図の例の様に、Ｇは明らかにＢより下にくることがありえるはずです。
ということで、棒の傾きθによってｈは最大値を取るはずだということです。

　ｈ＝(ｂ－ｓ)・sinθ
ですから
　ｈ＝(２・(ａ・cosθ)－ｓ)・sinθ
変数はθのみですから、ｈはθの関数です。ｈが最大値を取るための必要条件は
　dｈ/dθ＝０
です。
つまり
　０＝(２・ａ・cosθ－ｓ)・cosθ＋sinθ・(－２ａ・sinθ)
　＝４ａ・(cosθ)^2－ｓ・cosθ－２ａ
この２次方程式を解くと
　cosθ＝(ｓ±√(ｓ^2＋32ａ^2))/(8ａ)

０＜cosθ＜１　でなければなりませんから
　cosθ＝(ｓ＋√(ｓ^2＋32ａ^2))/(8ａ)＜１
∴２ａ＞ｓ　　式（エ）
これは、質問者さんが書いておられた条件の１つです。

また、ＧがＢを超えて半球の淵の外に来てはいけないので
　ｂ＞ｓ
も必要な条件です。これより
　２・ａ・cosθ＞ｓ
これに
　cosθ＝(ｓ＋√(ｓ^2＋32ａ^2))/(8ａ)
を代入して整理すると
　ｓ＞ａ・√(2/3)　　式（オ）

（エ），（オ）より
　２ａ＞ｓ＞ａ・√(2/3)
となります。

お礼

ありがとうございました。