【数学】放物線上の正三角形

質問

問題文見えますでしょうか…
(見えなかったら言ってください。)

この(２)が分かりません。
解説を見ると、ＰとＱＲの中点Ｍの延長とｙ＝Ｘ2の交点をＡとし、
「ＭＲ＝ａとすると、ＡＭ＝√3/3ａ、ＭＰ＝√3ａ」と書いています。
△ＰＭＲは１：２：√3の三角形になり、ＰＭ＝ａ×√3＝√3ａは理解できます。
が、ＡＭ＝√3/3ａになる理由が分かりません。
なぜ、△ＭＡＲが１：２：√3だと言えるのですか？

説明してください。お願いします!!

回答No.1

ferien · ベストアンサー

【数学】放物線上の正三角形

＞問題文見えますでしょうか…
＞ (見えなかったら言ってください。)
見えにくいので、次回からは打ち込んでもらえたらありがたいです。

＞この(２)が分かりません。

＞正三角形PQR，点P(5/2，25/4)　P,Q.Rは、放物線y＝x^2の上にある。
＞点Q，Rを通る直線の傾きは-1　

直線PMの式を求める。y＝ax＋b　とおくと、
直線PMはQRの垂直二等分線だから、a・(-1)＝-1　より、a＝1
点P(5/2，25/4)を通るから、x,yを代入して、
25/4＝1・(5/2)＋b　より、b＝15/4　から、y＝x＋(15/4)　……(1)の答え

点Aの座標は、y＝x^2と連立で解くと、x2＝x＋(15/4)
4x^2－4x－15＝0　(2x-5)(2x＋3)＝0　より、x＝-3/2（x＝5/2は点P）
y＝(-3/2)^2＝9/4　から、A(-3/2，9/4)

Aを通りｘ軸に平行な直線、Pを通りｙ軸に平行な直線を引き、交点をSとすると、
△ASPは直角三角形で、AS＝(5/2)－(-3/2)＝4，　PS＝(25/4)－(9/4)＝4　だから、
△ASPは直角二等辺三角形。だから、PA＝4√2

＞ 解説を見ると、ＰとＱＲの中点Ｍの延長とｙ＝Ｘ2の交点をＡとし、
＞「ＭＲ＝ａとすると、ＡＭ＝√3/3ａ、ＭＰ＝√3ａ」と書いています。
＞△ＰＭＲは１：２：√3の三角形になり、ＰＭ＝ａ×√3＝√3ａは理解できます。
＞ が、ＡＭ＝√3/3ａになる理由が分かりません。
＞ なぜ、△ＭＡＲが１：２：√3だと言えるのですか？

PAを直径とする円を描くと、△ASPは直角三角形だから、その上の円周角∠ASP＝90°より、
点Sは円周上にあり、円の中心は、PA上にあります。
正三角形PQRの外接円を描くと、外接円の中心は、各辺の垂直二等分線の交点なので、
中心は、直線PM上にあり、点AもPM上にあります。
だから、直径をPAとする円と正三角形PQRの外接円は一致するかもしれません。
（はっきり言えないのですが、このように考えると答えに合うようです。）

もしも一致するとすると、P,Q,R,Aは同じ円周上にあるので、
弧PR上の円周角を考えると、∠PAR＝∠PQR＝60°
直径上の円周角なので、∠ARP＝90°
∠ARM＝∠ARP－∠QRP＝90°－60°＝30°
△MARで、∠ARM＝30°，∠MAR＝∠PAR=60°，∠AMR＝90°だから、
△MARは、AM：AR：MR＝1：2：√3の直角三角形です。
だから、
MR＝aより、AM：a＝1：√3より、AM＝a/√3＝(√3/3)a

直径PA＝4√2だから、円の中心をOとすると、PO＝AO＝2√2
正三角形では、外接円の中心と重心は一致するので、
PO：OM＝2：1より、OM＝√2　AM＝OA－OM＝2√2－√2＝√2
だから、a＝√3AM＝√3・√2＝√6　より、MR＝√6
よって、正三角形の１辺は、PR：MR＝2：1より、PR＝2√6

この方法だと、図を描いてみないと上記のようなことが言えるかどうかはっきりしないので、
この解き方をするよりも、普通に計算で解いたほうがいいと思います。

Qの座標を(a,a^2），Rの座標を(b、b^2)とおくと、図から、a＜0，ｂ＞0
QRの中点Mの座標は、（(1/2)(a＋b)，(1/2)(a^2＋b^2)）
(1)の答えの式に代入すると、(1/2)(a^2＋b^2)＝(1/2)(a＋b)＋(15/4)　……(2)
正三角形だから、PQ＝PRより、PQ^2＝PR^2　から、
{a－(5/2)}^2＋{a^2－(25/4)}^2＝{b－(5/2)}^2＋{b^2－(25/4)}^2　……(3)
(2)は分母を払うと、2(a^2＋b^2)＝2(a＋b)＋15　……（4）
(3)を展開して整理すると、
-10(a－b)－23(a^2－b^2)＋2(a^2＋b^2)(a^2－b^2)＝0
これに(4)を代入して、
ー10(a－b)＋{2(a＋b)－8}(a^2－b^2)＝0
aとbは一致しないので、a－b＝0でないから、
-10＋{2(a＋b)－8}(a＋b)＝0　より、
(a＋b)^2－4(a＋b)－5＝0
a＋b＝Xとおくと、
X^2－4X－5＝0より、(X－5)(X＋1)＝0より、X＝5，-1
a＋b＝5のとき、b＝5－aを(4)に代入して、
2(5－b)^2＋2b^2＝2・5＋15
(2b－5)^2＝0より、b＝5/2，a＝5/2で、a＜0　でないので不適、
a＋b＝-1のとき、同様にすると、
4b^2＋4b-11＝0　より、b＝-(1/2)±√3　b＞0だから、b＝-1/2＋√3
a＝-1－b＝-1－(-1/2＋√3）＝-1/2－√3　より、a＜0だから、適する。
よって、a＝-1/2－√3，b＝-1/2＋√3

a,bの値を中点Mの座標（(1/2)(a＋b)，(1/2)(a^2＋b^2)）に代入して、
M(-1/2，13/4)
PQ^2＝{a－(5/2)}^2＋{a^2－(25/4)}^2　に代入して、PQ^2＝24
よって、PQ＝2√6（＝PRで1辺の長さ）　

計算で解いても結構大変でしたが、図も描いて確認してみてください。

お礼

遅れてすみません(>_<)

ありがとうございます！
分かりやすいです！