x^(1/2)＝tとおいてxについて微分はNG？

質問

y={x^(1/2)}^x　ただし、（x>0）
yを微分しろ
という問題がありました。

対数をとって、両辺をxで微分すると
y’=(1/2)x^(x/2)(logx + 1)
と答えが出ます。この解法なら意味がわかります。

答が正しいのはわかっているのですが自然対数を取れず、
自分はx^(1/2)＝tとおいて、
dt/dx=1/2x^(1/2)として、
y’= (t^x)logt(dt/dx)
としました。
結局、y’=x^(x/2)(1/2)logx*(t^x*logt)
で、答えが合いませんでした。

ここで思ったのがこういう場合、x^(1/2)＝tとおいてxについて微分するのはだめなんでしょうか？

自分で考えたこととしては、xを含む関数でおいた場合、置き換えたあとにxが残っているとこの解法は使えないのかなと思いました。この理解で大丈夫でしょうか？

回答No.3

ereserve67 · ベストアンサー

ANo.2のお礼について

>＞f(x)^x=e^{xlogf(x)}としなくてはいけません
>これは公式ですか？

よく見れば成り立つことは一目瞭然です．右辺はxlogf(x)=logf(x)^xですから

ｆ(x)^x=e^logf(x)^x

となりますね．一般にA>0に対し

A=e^{logA}（logAはeをそれ乗するとAになる数でした）※

>y=t^x={f(x)}^xを微分するとf(x)^x=e^{xlogf(x)}になるのがちょっと意味がわからないです。

いえ先に示したように微分しなくてもf(x)^x=e^{xlogf(x)}です．

>こういった問題に対処する場合、できる方はどうやって対数を取ると判断しているんでしょうか？やはり暗記？

そもそも対数は指数形式の裏返しです．計算が便利だからよくつかわれるのです．指数形式の式も対数形式にすると見通しがよくなる．これに着きます．

※は実は大学生になるとよく使うようになるものです．多分，複素変数zの複素数c乗を定義するときに

z^c=e^{clog(z)}

と定義するわけです．log(z)=∫_1^zdζ/ζ

お礼

親切に再回答していただき、ありがとうございます。

お礼が遅くなってしまって申し訳ない。
おかげさまで対数を取らない方法がどういうものか、今回の問題に関しては分かりました。

回答No.2

ereserve67

>（y=t^xをxで微分）y’= (t^x)logt(dt/dx)←ここがちがいます

正しくはそして初等的にはやはりy=t^xの両辺の対数をとり

logy=xlogt
y'/y=logt+(x/t)(dt/dx)
=log(x^{1/2})+x^{1/2}(1/2)x^{-1/2}=(1/2)(logx+1)
y'=t^x(1/2)(logx+1)=(1/2)x^{x/2}(logx+1)

とするのがよいでしょう．もし対数微分をせず直接するなら，t=f(x)として

y=t^x={f(x)}^x

を微分しないといけません．f(x)^x=e^{xlogf(x)}}としなくてはいけませんが，上記のような対数微分の方が初等的には簡単でしょう．

>自分で考えたこととしては、xを含む関数でおいた場合、置き換えたあとにxが残っているとこの解法は使えないのかなと思いました。

この方法はというのは

(1)合成関数の微分
(2)aが正の定数の時の(a^x)'=a^xloga

でしょうか．先に示した通り，おきかえ：t=x^(1/2)をしてy=t^xを得ますが，まずtは定数でないので(2)は使えません．(1)についてはxが残っているので気をつけないといけません．

対数微分がいいと思います．

お礼

回答ありがとうございます。

私が言いたかったのは(1)の方です。

f(x)^x=e^{xlogf(x)}・・・難しいですね。
＞f(x)^x=e^{xlogf(x)}としなくてはいけません
これは公式ですか？
y=t^x={f(x)}^xを微分するとf(x)^x=e^{xlogf(x)}になるのがちょっと意味がわからないです。

こういった問題に対処する場合、できる方はどうやって対数を取ると判断しているんでしょうか？やはり暗記？

回答No.1

info22_

>x^(1/2)＝tとおいてxについて微分するのはだめなんでしょうか？
別に置換え自体は問題ありません。
x^(1/2)＝tとおけば dt/dx=1/(2x^(1/2)),
x=t^2ですから
y={x^(1/2)}^x
=t^x(>0)
y'=dy/dx=d{e^(xlog(t))}/dx
={e^(xlog(t))}d(xlog(t))/dx
=(t^x)*{log(t)+x*dlog(t)/dt*dt/dx}
={x^(x/2)}*{log(x^(1/2))+x*(1/t)(1/(2x^(1/2)))}
={x^(x/2)}*{(1/2)log(x)+x*(1/(x^(1/2)))(1/(2x^(1/2)))}
=(1/2){x^(x/2)}*{log(x)+1}
と前者の解法の結果と一致します。

質問者さんが後者の計算で計算ミスをしてるだけでしょう。

お礼

回答ありがとうございます。

でも、
＞y'=dy/dx=d{e^(xlog(t))}/dx
＞　={e^(xlog(t))}d(xlog(t))/dx
が意味がわからないです・・・。

これって高校数学の範囲ですか？
書いてなかった自分が悪いのですができればその範囲でお願いします。
その範囲内でしたら本当にごめんなさい。