この問題の答え合わせをしてください

質問

曲面ｚ＝（４－ｙ＾２）のD={(x,y);0≦x≦４、1≦y≦２}にある部分の表面積を求めよ。という問題ですが僕の回答では８π/３となりました。あてますでしょうか。答えあわせお願いします。途中式も書いてください

回答No.5

alice_44 · ベストアンサー

A No.2 の計算も書いとくかな。(A No.3 は、気の迷い。)
z = 4-y^2 だから、y = (1/2)(sinh θ) と置くと、

S = ∫[y=1～2] √{1+(dz/dy)^2} dy
= ∫ √{1+(-2y)^2} dy
= ∫[θ=(arccosh 2)～(arccosh 4)] √{1+(sinh θ)^2} (1/2)(cosh θ) dθ
= ∫ (1/2)(cosh θ)^2 dθ
= ∫ { (1/4)(cosh 2θ)+(1/4) } dθ　；coshの半角公式より
= [ (1/8)(sinh 2θ) + (1/4)θ ]_(θ=(arccosh 2)から(arccosh 4)まで)
= (1/4) [ (sinh θ)(cosh θ) + θ ]　；sinhの倍角公式より

求める面積は、前述のごとく (4-0)S だから、
[ (sinh θ)(cosh θ) + θ ]_(θ=(arccosh 2)から(arccosh 4)まで)
= 4√(1+4^2) + β - 2√(1+2^2) - α
= 4√17 - 2√5 + (arcsinh 4) - (arcsinh 2).

w = sinh θ = (e^θ - e^-θ)/2 を変形して
(e^θ)^2 - 2w(e^θ) -1 = 0 だから、
二次方程式を解いて e^θ = w+√(1+w^2),
すなわち arcsinh w = θ = log( w+√(1+w^2) ).

これを使って、面積 = 4√17 - 2√5 + log(4+√17) - log(2+√5)
とも書ける。

回答No.4

info22_

#1です。

何の補足もいただけないですね。正解は不要ですか？
それとも自己解決したのでしょうか？

A#1の積分結果は以下のように計算して導出できます。

dz/dx=0,dz/dy=-2y
表面積S=∫∫_D √{1+(dz/dx)^2+(dz/dy)^2} dxdy
=∫∫_D √(1+0+4y^2) dxdy
=∫∫_D √(1+4y^2) dxdy
=∫[1→2] {∫[0→4]√(1+4y^2)dx}dy
=∫[1→2] √(1+4y^2){∫[0→4]dx}dy
=∫[1→2] √(1+4y^2){[x][x=0→4]}dy
=∫[1→2] √(1+4y^2) *(4-0)}dy
=4∫[1→2] √(1+4y^2)dy

2y=tとおくと、2dy=dt

S=4∫[2→4] √(1+t^2) dt/2
=2∫[2→4] √(1+t^2) dt　...(★)

ここで
I=∫√(1+t^2)dt
= t√(1+t^2)-∫t^2/√(1+t^2) dt
= t√(1+t^2)+∫(1-(1+t^2))/√(1+t^2) dt
= t√(1+t^2)+∫1/√(1+t^2) dt-∫√(1+t^2) dt
= t√(1+t^2)+∫1/√(1+t^2) dt-I
2I= t√(1+t^2)+∫1/√(1+t^2) dt
I=(1/2)t√(1+t^2)+(1/2)∫1/√(1+t^2) dt

√(1+t^2)=u-t とおくと
u=t+√(1+t^2)>0
自然対数をとって
ln(u)=ln(t+√(1+t^2)
微分をとって
du/u=(t+√(1+t^2))'*dt/(t+√(1+t^2))=(1+t/√(1+t^2))dt/(t+√(1+t^2))=dt/√(1+t^2)
なので

I=(1/2)t√(1+t^2)+(1/2)∫du/u
=(1/2)t√(1+t^2)+(1/2)ln(u)+C
=(1/2)t√(1+t^2)+(1/2)ln(t+√(1+t^2)+C

従って.(★)は
S=[t√(1+t^2)+log(t+√(1+t^2)][2→4]
=4√17-2√5+ln(4+√17)-ln(2+√5)
となります。

回答No.3

alice_44

あ、いけね。
y = (1/2)(cosh θ)

回答No.2

alice_44

曲面が、x軸方向の柱状面ですから、yz平面上での弧長を求めるだけの問題です。
xのことは忘れて、z=4-y^2 の ∫[y=1～2] √{1+(dz/dy)^2} dy を計算する
(最後に思い出して 4-0 を掛けて面積にする)のだけれど、難しいですか？
y = (1/2)(sinh θ) が役に立ちます。

8π/3 は、間違っているようです。

回答No.1

info22_

丸投げしないで解答を補足に書いてください。

>僕の回答では８π/３となりました。
間違っているようです。。
なぜそうなりましたか？

私の計算では

4(√17)-2(√5)+ln(4+√17)-ln(2+√5)

となりました。