統計学について教えてください

質問

初めまして、今私は授業で統計学を勉強しているのですが、その中でわからない問題がありましたので質問させてもらいます。

問題
ある国の数学のテスト結果から無作為に10人を抽出して、点数を記録したデータは以下である。
64 55 49 67 88 70 71 45 31 68

1）もし母集団の分散がサンプルからの推定値と等しいとわかるとすれば、全国平均点数の50％信頼区間を求めなさい

2）母集団の分散について何もわからないとすれば、全国平均点数の50％信頼区間を求めなさい

の2問がわかりません。
自分なりに教科書を読んだりしているのですが、なかなか理解できなくて・・・

申し訳ありませんが、この問題が解ける方はぜひ解答と解説をお願いします！
よろしくお願いします（>＿<）

回答No.2

Peechyan · ベストアンサー

こんにちは。やってみます。

■　まず、この問題で問われている事は、
　　(1)　母平均μを推定する際の場合分けがきちんとできているか。
　　(2)　正規分布表とt分布表を使って、50％信頼区間のzとtの値をきちんと出す事が出来るか。
なんだと思います。それが出来れば、あとは公式に当てはめるだけです。

■　まず、場合分けです。

母平均μを推定したいときに、
---------------------------------------------------------------------
[1] もし、母標準偏差σが何らかの理由で既に分かっている場合は、正規分布表を用いて推定します。
[公式] μの信頼限界= ｘバー±zσ/√n
---------------------------------------------------------------------
[2] もし、母標準偏差σが分からず、標本数が小さい(30未満)場合は、t分布表を用いて推定します。
[公式] μの信頼限界= ｘバー±ts/√n　※　ここで、tは自由度n-1のt値
---------------------------------------------------------------------
[3] もし、母標準偏差σが分からず、標本数が大きい(30以上)場合は、正規分布表を用いて推定します。
[公式] μの信頼限界= ｘバー ± zs/√n
※　標本標準偏差sが使われており、母標準偏差σは使われていない。
---------------------------------------------------------------------
という場合分けをします。

そして、この場合分けの方法によれば、
問題(1)は、[1]のケースに該当します。
　　母集団の分散がサンプルからの推定値と等しい=標準偏差σが既知。
問題(2)は、[2]のケースに該当します
　　標準偏差σは、分からない。標本数が10[人]なので、小標本である。

■　それでは、まず問題(1)と問題(2)で共通に使う部分の下準備をします。
抽出した１０人にそれぞれ1~10の番号をふる。10人の得点の合計と、10人の得点の二乗の合計値を求める。

(1) Ｘi の合計：64+55+…+68=608[点]、
(2) (Ｘi)^2の合計：4096+3025+…+4624=39306[点^2]

これで、問題を解く準備が整いました。

■　以下、実際に問題を解いていきます。
なお、解説の中にはExcelの式サンプルも併記してありますが、B2~B11まで縦方向に値が入力されていると考えてください。

[問1] もし母集団の分散がサンプルからの推定値と等しいとわかるとすれば、全国平均点数の50％信頼区間を求めなさい　-------------------------------------------------------
[1]　平均をもとめる。
ｘバー=1/10*Σ[i=1, 10]Ｘi=1/10 * 608[点] = 60.8[点]
Excelでは、Average関数を使います。=AVERAGE(B2:B11)

[2]　分散を求める。
σ^2= 1/10*Σ[i=1, 10](Ｘi^2) - (ｘバー)^2
= 1/10 × 39306[点^2] – (60.8[点])^2=233.96[点^2]
Excelでは、Varp関数を用います。=VARP(B2:B11)

[3]　標準偏差を求める。
σ = √233.96[点^2] = 15.2957[点] ≒ 15.3[点]
Excelでは、STDEVP関数を用います。=STDEVP(B2:B11)

[4]　z値を求める。
正規分布表の左右両側の面積の合計が50%=0.5になればよいので、片側だけだと0.25になる。
よって、正規分布表から、50％/2=25%=0.25になる値を探すと、0.6745になる。すなわち、z=0.6745である。
なお、Excelでは、 NORMSINV関数を用います。NORMSINV(1-0.25)

[5]　ｘバー= 60.8[点]、σ = 15.3[点]、z=0.6745を、
μの信頼限界= ｘバー±zσ/√nに代入して、 μの上方信頼限界と下方信頼限界を求める。

[A]　μの下方信頼限界 μL= ｘバー － zσ/√n = 60.8[点] － (0.6745×15.3[点] / √10[人]) ≒ 57.5[点]
=AVERAGE(B2:B11)-NORMSINV(1-0.25)*STDEVP(B2:B11)/SQRT(COUNT(B2:B11))

[B]　μの上方信頼限界μU= ｘバー + zσ/√n = 60.8[点] + (0.6745×15.3[点] / √10[人]) ≒ 64.1[点]
=AVERAGE(B2:B11)+NORMSINV(1-0.25)*STDEVP(B2:B11)/SQRT(COUNT(B2:B11))

よって、母平均の区間推定結果は、
信頼係数50％のもとで、57.5[点]≦ μ ≦ 64.1[点]　である。

[問2] 母集団の分散について何もわからないとすれば、全国平均点数の50％信頼区間を求めなさい　--------

[1]　標本平均(母平均の推定値)をもとめる。
ｘバー= 1/10Σ[i=1, 10]Ｘi=1/10 × 608[点] = 60.8[点]
Excelでは、Average関数を使います。=AVERAGE(B2:B11)

[2]　標本分散 or 不偏分散(母分散の推定値) を求める。
S^2=1/(10-1)×{Σ[i=1, 10](Ｘi^2) – 10×ｘバー^2}
=1/9×(39306 – 10×60.8^2) = 11698/45 = 259.96 ≒ 260.0
Excelでは、Var関数を用います。=VAR(B2:B11)

[3]　標本標準偏差(母標準偏差の推定値)を求めます。
S=√ 260.0 = 16.1
Excelでは、stdev関数を用います。=STDEV(B2:B11)

[4]　t値をを求める。
信頼係数γ=0.50より、α=1 – γ =1-0.50 = 0.50、自由度　n=10であるから、
t[n-1](α/2)=t[10-1](0.50/2)=t[9](0.25)=0.703　よって、t=0.703になる。
Excelでは、tinv関数を用います。=tinv(2*0.25, 10-1)

[5]　ｘバー= 60.8[点]、s = 16.1[点]、t=0.703を、μの信頼限界= ｘバー±ts/√nに代入して、 μの上方信頼限界と下方信頼限界を求める。

[A] 下方信頼限界μL= ｘバー －ts/√n = 60.8[点] － (0.703×16.1[点] / √10[人])
=60.8[点] －3.58[点] ≒ 57.2[点]
=AVERAGE(B2:B11)-TINV(2*0.25,10-1)*STDEV(B2:B11)/SQRT(COUNT(B2:B11))

[B] μの上方信頼限界μU= ｘバー + ts/√n = 60.8[点] + (0.703×16.1[点] / √10[人])
=60.8[点] + 3.58[点] ≒ 64.4[点]
=AVERAGE(B2:B11)+TINV(2*0.25,10-1)*STDEV(B2:B11)/SQRT(COUNT(B2:B11))

よって、全国平均点数の50％信頼区間は、
57.2[点]≦μ≦64.4[点]である。

お礼

ご回答ありがとうございました！！
こんなひとつひとつわかりやすく教えてもらえてとても助かります！
これを見ながら自分でもしっかり解きます！

回答No.1

kgu-2

信頼区間は、平均±2σです。
ですから、σさえ分かれば、計算できるハズ
1)は、同じというのだから、σは単に標準偏差を用いる。エクセルだと、STDEVPで出します。
2)は、分からないというのだから、σは不偏標準偏差で計算。エクセルだと、STDEV。STDEVは、STDEVPより少し大きい値になるハズ。
　分からなければ、その点を書き込んでください。

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ここから先は、どうでもよいのですが、
標準偏差は、英語では、Standard Deviation。STandard DEViationとも書け、Pは入っていないのです。Pがはいっているのは、ミステリー。
バージョンアップしても直さないようです。

お礼

ご回答ありがとうございました！
エクセルでできるんですね・・・初めて知りました・・！
頑張ってみます！