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複素積分
ちょっとグリーン関数を勉強していて、複素積分を忘れてしまった部分があるので教えてください。 ∫_[-∞～∞] {exp(ikr)}/k dk=iπ の計算過程です。 お願いします。
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- siegmund
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alice_44 さんの言われるように， k=0 の近傍で広義積分が収束しません． 複素積分という観点からするなら， 積分路は実軸に沿って -∞ から +∞ ですが， 極になっている原点(k=0)をどちらに避けるかを 指定しないといけません． この結果は原点を複素平面の下方に回避しています． 回避の仕方を半径 δ の円(δ → 0)に沿うものとしますと， k = δ e^(iθ) で，θがπから 0 まで動くことになります． k についての積分をθで書き換えればよいでしょう． 同じことですが，分母の k を k - iδ と思って置く手もあります． なお，上方に回避すると，積分結果は -iπ になります．
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