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sinxの無限積展開

sinπx=πxΠ(1-x^2/m^2) の公式がどのようにして導出されるのか、疑問をもっています。 手元に解析概論(高木著)などがあり、Γ関数やWeiestrassの定理と関連があることぐらいはわかりましたが、具体的にどようにして導かれるのかがよくわかりません。 この公式の導出の仕方か、または、これらのことが詳しく書かれた専門書やページ数などがわかればお教え頂けないでしょうか? ※Πはm=1,...,∞の積を表すものとする。

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noname#199771
noname#199771
回答No.1

Wikipediaに略証があります。 http://ja.wikipedia.org/wiki/%E4%B8%89%E8%A7%92%E9%96%A2%E6%95%B0%E3%81%AE%E7%84%A1%E9%99%90%E4%B9%97%E7%A9%8D%E5%B1%95%E9%96%8B 関数論の本には大抵載っています。

graphman2
質問者

お礼

関数論の本に載っているとは、、、 盲点でした。 有り難うございました!!

その他の回答 (2)

  • hugen
  • ベストアンサー率23% (56/237)
回答No.3

sinx=x-1/3!*x^3+・・・=x(1-1/3!*x^2+・・・) また、 sinx=0  を 解くと、 x=0,±π,±2π,・・・ そこで、 sinx=C x(x±π)(x±2π)=x{C(±π)(±2π)+・・・}   と 近似すると C(±π)(±2π)=1  C=1/(±π)(±2π)、よって sinx=1/(±π)(±2π)* x(x±π)(x±2π)=x(1+x/π)((1-x/π)(1+x/2π)(1-x/2π)

graphman2
質問者

お礼

概略がなんとなくわかりました。 ありがとうございます。

  • hugen
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回答No.2
graphman2
質問者

お礼

大変参考になりました。 また、いろいろと思考していたため、返事が遅くなり失礼いたしました。 有り難うございました。

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