数学

質問

∫[0→１] x^3・dx=1/4　を積分せずに求めよ。

分からないので、もしよかったら回答をお願いします。

回答No.2

alice_44 · ベストアンサー

ガバリエリの原理を使おうが、図形的な考察をしようが、
積分の値を求めることを「積分する」というのではないか？
と言っているのだけど…　伝わらなかったようだ。

「積分せずに」という言葉で「不定積分を経由せずに」を
意味したいのであれば、以下のような計算はどうだろう？

∫[x=0→1] x^3 dx は、連続関数の閉区間上での積分だから、
積分可能である(有限確定する)。　←この確認は大切。

その上で、[0,1] を n 等分して、区分求積法に持ち込む。
∫[x=0→1] x^3 dx = lim[n→∞] Σ[k=1→n] (1/n)(k/n)^3.
この式の ＝ は、左辺の積分が収束することで保証されるが、
そこが気分的に不安であれば、
∫[x=0→1] x^3 dx ＜ lim[n→∞] Σ[k=1→n] (1/n)(k/n)^3,
∫[x=0→1] x^3 dx ＞ lim[n→∞] Σ[k=0→n-1] (1/n)(k/n)^3
から挟み撃ちにしてもいい。

Σ[k=1→n] (1/n)(k/n)^3 = (1/n)^4 Σ[k=1→n] k^3
= (1/n)^4 {n(n+1)/2}^2 = (1/4)(1 + 1/n)^2
から、n→∞ の極限をとって 与式 = 1/4.

あるいは、Σ[k=1→n] k^3 を既知の公式とせずに、
Σk^3 = Σk(k+1)(k+2) - 3Σk(k+1) + Σk あたりから
算出すれば、更に手作り感があるかもしれない。

お礼

すいません。
確かにそうですね(>_<)。

確かにこのやり方もあることを忘れていました！
とても丁寧な回答ありがとうございます。

回答No.1

alice_44

何を言ってるのかが解らない。
どんな方法をとったにせよ、
最終的に ∫[0→１] x^3 dx の値を求めたら、
それは、積分をしたことになるのではないか？
夢で女神のお告げを聞くとか、
計算せずに質問サイトで答をもらうとか
の方法が必要なのだろうか？

お礼

積分をしなくても、ガバリエリの原理や、
図から求めるなど、求められる方法はいくらでもあります。

私は、もっと他の広い考え方、
面白い解き方を募集しています。