f'(X)=0を計算するの意味を教えてください

質問

例えばf(X)=10/(X+1)+2X/5についてf'(X)=0を計算すると、f'(X)=-10/(X+1)^2+2/5=0になると書かれた参考書があるのですが、この変換の仕方がどうしてもわかりません。
申し訳ありませんが、どなたか教えていだけませんでしょうか。

回答No.3

ORUKA1951

＞導関数とは、関数を微分することで新しく得られる関数のようなのですが、

　中学校の二次関数で因数分解、そのグラフのところで平方完成を学びましたよね。それぞれ、二次関数がx軸と交差するときの交点、二次関数の頂点がどちらに移動しているか(とグラフの伸張)を知る手段でしたよね。---ここを復習してください。
[例]
y = x² + 2x -8
を因数分解すると、
y=(x-2)(x+4)
平方完成すると
y + 9 = (x + 1)²
よってグラフは、y = x²　のグラフをx軸方向に -1 y軸方向に -9 移動しx軸と (0,-4)(0,2)で交差することが分かりましたよね。

　その上で、グラフ上の任意の点(x)での傾きを求めようとすると
f(x) = y = x² + 2x -8　と置くと、わずかδ増えたときのf(x)の値をδで割ると傾きが出ますね。
傾き = f(x+δ)/δ 高さの変化/底辺の長さ
すなわち、
[{(x+δ)² + 2(x + δ) -8 } - {x² + 2x -8}]/δ
　= (x² + 2δx + δ² + 2x + 2δ - 8 - x² - 2x + 8)/δ
　= (4δx + δ² + 2δ)/δ
　= (4δx/δ) + (δ²/δ) + (2δ/δ)
　= 4x + δ+ 2
ここでデルタを限りなく0--xに近づけると
　= 4x + 2

これって、結果的に
　xⁿ　---> nx^{n-1}ってことですよね。

f'(x) = y' = x² + 2x -8
f'(x) = y' = 2x^{2-1} + (2×1)x⁰ -8×0
　と覚えてしまえば・・
　⇒初等関数に関する公式( http://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%BE%AE%E5%88%86%E6%B3%95#.E5.88.9D.E7.AD.89.E9.96.A2.E6.95.B0.E3.81.AB.E9.96.A2.E3.81.99.E3.82.8B.E5.85.AC.E5.BC.8F )

導関数の求め方--公式の説明は、
　⇒導関数の基本式I（微分の公式I）( http://w3e.kanazawa-it.ac.jp/math/category/bibun/henkan-tex.cgi?target=/math/category/bibun/doukansuu-no-kihonsiki.html )
　簡単ですから、いちいち出題されるたびに求めてもよいが、基本的には覚えたほうが早いです。
　⇒分数関数の微分I( http://w3e.kanazawa-it.ac.jp/math/category/bibun/keisan/henkan-tex.cgi?target=/math/category/bibun/keisan/diff-frac(1)(g).html )

回答No.2

ORUKA1951

＞f(X)=10/(X+1)+2X/5についてf'(X)=0を計算すると、f'(X)=-10/(X+1)^2+2/5=0になると
　それは違いますよ。
　f(x) = 10/(x+1) + (2/5)x
の導関数は
　f'(x) = -10/(x+1)² + 2/5
なので、f'(x) = 0 --すなわち傾きゼロの点は
　f'(0) = -10/(x+1)² + 2/5 = 0
とおくと・・と言う意味ですよ。

　この式は、分数関数を含みますから分数関数の微分の公式から分数関数部分は
{10x}'/(x+1)² になりますから、結果的に
f'(x) = 10/(x+1)² + 2/5
になるのですよ。
　⇒分数関数の微分 - Google 検索( https://www.google.co.jp/search?q=%E5%88%86%E6%95%B0%E9%96%A2%E6%95%B0%E3%81%AE%E5%BE%AE%E5%88%86&ie=utf-8&oe=utf-8&aq=t&rls=org.mozilla:ja:official&hl=ja&client=firefox-a )
　⇒初等関数に関する公式( http://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%BE%AE%E5%88%86%E6%B3%95#.E5.88.9D.E7.AD.89.E9.96.A2.E6.95.B0.E3.81.AB.E9.96.A2.E3.81.99.E3.82.8B.E5.85.AC.E5.BC.8F )
　⇒分数関数の微分I( http://w3e.kanazawa-it.ac.jp/math/category/bibun/keisan/henkan-tex.cgi?target=/math/category/bibun/keisan/diff-frac(1)(g).html )

お礼

回答つけていただきありがとうございます。
f(x) = 10/(x+1) + (2/5)x　の導関数は　f'(x) = -10/(x+1)² + 2/5　なのでの部分が
よく理解できていません。
導関数とは、関数を微分することで新しく得られる関数のようなのですが、
f(x) = 10/(x+1) + (2/5)x　の導関数をどうやって求めるのか教えていただけ
ますと助かります。

回答No.1

spring135

最大値や最小値、関数の増減の状態を把握するため「微分」というf(x)に対して演算を行っています。

参考URL：

http://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%BE%AE%E5%88%86%E6%B3%95

お礼

回答つけていただいてありがとうございます。
もう少し教えていただけませんでしょうか。

f(X) = 10/(X+1) + 2X/5　→　f' (X) = -10/(X+1)^2 + 2/5 = 0

上記式はf'(X)=0にしたときにこうなると参考書に記載されているのですが、
参考書には当たり前の事のように記載されており、f'(X)=0にするとどうして
このように変化するのかがどうにもこうにもわかりません。

10/(X+1)　が　-10/(X+1)^2　に
2X/5 が 2/5 にぞれぞれ変化する理由を教えていただけませんでしょうか。