数A確率です

質問

赤玉３個と青玉５個が入っている袋がある。この袋から玉を１個取り出し、その玉の色に関係なく、青玉１個をこの袋に入れるという作業を繰り返す。２回目までに少なくとも１回は赤玉が取り出されたことが分かっているとき、３回目に赤玉が取り出される確率を求めよ。

難しいです。お願いします。

回答No.4

alice_44 · ベストアンサー

「一回は赤が出たことが解っている」の扱い方次第ですかね。
赤が一回出たのか二回出たのかは判っていないので、
確定的なことは言えないけれども…　ベイズ確率の考え方で、
三回目に赤が出る確率の(事後確率的な意味での)期待値を
計算することならできます。「三回目に赤が出る確率」と
「二回目までに赤が出た回数の確率分布」と二種類の「確率」
が登場するので、話がややこしいですが。

ただし、貴方の求めたい「確率」がそのような意味のもの
であるかどうかは、貴方自身にしか判りません。
どうなんでしょうね？　計算よりも、そこの確認のほうが
むしろ重要かもしれないですね。

事前確率分布として、
[1] 確率 p = (3/8)(2/8) で 赤赤,
[2] 確率 q = (3/8)(6/8) で 赤青,
[3] 確率 r = (5/8)(3/8) で 青赤,
[4] 確率 s = (5/8)(5/8) で 青青
が出る。

[1] の場合、三回目に赤が出る確率は 1/8,
[2] の場合、三回目に赤が出る確率は 2/8,
[3] の場合、三回目に赤が出る確率は 2/8,
一回は赤が出たことが判っているので、
[4] は起こっていない。

「三回目に赤が出る確率」の事後期待値は、
{(1/8)r+(2/8)q+(2/8)r}/(p+q+r) = 3/13.

お礼

回答ありがとうございます。
問題集の樋で情報はこれだけです。
考え方が難しくて止まっていました。
ありがとうございました、

回答No.10

alice_44

No.4 冒頭にも書いたが、
「三回目に赤が出る確率」とだけ書いて、
No.4 No.6 のような確率を意味してよいのか？
問題文が不備ではないか？という点が、
一番の問題点だと思う。

確率分野については、こういう粗雑な扱いが
多くて、いつも気になっている。
数A確率を学んで、この手の問題文に
慣れてしまうことで、却って
確率概念が曖昧になってゆくのではないかと…

条件付き確率の計算そのものは、樹形図を書けば
極簡単である。

回答No.9

MagicianKuma

No6,No8さんへ、私の誤入力です。No5さんへの指摘のつもりでした。申し訳ない。

回答No.8

ereserve67

ANo.6です．

まず，ANo.7に書かれていることについて

>1回も振ってない時点で、「最初の2回で赤が少なくとも1回は出て、3回目も赤が出る確率は？」の答え

この確率がP(R∩S)です．

>答えを(1-最初の2回が青青の確率)で割る必要があります

その確率P(S)(=1-最初の2回が青青の確率)で割ってP(R∩S)/P(S)を計算しています．

よく回答をみれば分かります．

次に，私の回答は本質的にANo.4の回答と同じです．条件付き確率の問題です．私は，この問題をマルコフ連鎖としてとらえた方が面白いということを強調したかっただけです．状態図で質問者様の求めている回答も，それ以上のことも答えられるということをです．

お礼

回答ありがとうございました

回答No.7

MagicianKuma

>２回目までに少なくとも１回は赤玉が取り出されたことが分かっているとき
と書かれているから、条件付き確率の問題なのでしょう。No４さんの解釈でよいかと。
No6さんの回答は、1回も振ってない時点で、「最初の2回で赤が少なくとも1回は出て、3回目も赤が出る確率は？」の答えとしては妥当です。
が、「２回目までに少なくとも１回は赤玉が取り出されたことが分かっている」なら、答えを(1-最初の2回が青青の確率)で割る必要があります。

お礼

回答ありがとうございます。
問題の解釈も難しいし、困っていました。
ありがとうございました。

回答No.6

ereserve67

数学Aの範囲では難しいでしょう．条件付き確率の考えが必要です．事象Aと事象Bがあるとき，事象Aは必ず起こるとします．P(A)>0．Aが起こったことが分かっているときBの起こる確率をAの条件付き確率といって

P(B|A)=P(B∩A)/P(A)

で定義します．分母を払うと，

P(B∩A)=P(A)P(B|A)

となります．これは有用な式です．

袋の中の状態の遷移に注目して求めてみましょう．

各回作業後の袋の中の状態を1対の組(赤玉の個数,青玉の個数)で表します．n回後の状態をS_nとします．

(3,5)から出発して赤が出れば赤玉が1個減り青玉が1個増え，青玉がでれば状態は変わりません．つまり，

☆(3,5)[5/8]=[3/8]=>(2,6)[6/8]=[2/8]=>(1,7)[7/8]=[1/8]=>(0,8)[1]

のような状態遷移をします(状態の横[]内の数値はその状態にとどまる確率，左右の状態の間[]内の数値は左から右へ状態遷移する確率で，いずれも条件付き確率です．)．すると，2回目までに少なくとも1回は赤玉が取り出されるという事象Sは

S=(S_2=(2,6))∪(S_2=(1,7))

となり，S_2=(2,6)とS_2=(1,7)は互いに排反な事象です．

さて，Rを3回目に赤玉がでるという事象とすると，求める確率は条件付き確率

P(R|S)=P(R∩S)/P(S)

です．

P(R∩S)=P{R∩(S_2=(2,6)∪S_2=(1,7))},P(S)=P(S_2=(2,6)∪S_2=(1,7))

ですが，まず，

P(S_2=(2,6))=P(1回目赤，2回目青)+P(1回目青，2回目赤)

=(3/8)(6/8)+(5/8)(3/8)=(18+15)/64=33/64

P(S_2=(1,7))=P(1・2回とも赤)

=(3/8)(2/8)=6/64

です．S_2=(2,6)とS_2=(1,7)は互いに排反だから，

P(S)=P(S_2=(2,6)∪S_2=(1,7))=P(S_2=(2,6))+P(S_2=(1,7))

=(33+6)/64=39/64

また，

P(R∩S)=P{R∩(S_2=(2,6)∪S_2=(1,7))}

=P{(R∩S_2=(2,6))∪(R∩S_2=(1,7))}

=P(R∩S_2=(2,6))+P(R∩S_2=(1,7))=P(S_2=(2,6)∩R)+P(S_2=(1,7)∩R)

=P(S_2=(2,6))P(R|S_2=(2,6))+P(S_2=(1,7))P(R|S_2=(1,7))

=(33/64)(2/8)+(6/64)(1/8)=(33/64)(1/4)+(3/64)(1/4)

=(36/64)(1/4)=9/64

よって

P(R|S)=P(R∩S)/P(S)=(9/64)/(39/64)=9/39=3/13

となります．

※状態遷移図☆を使うと，例えば時刻nに状態(1,7)にある確率P(S_n=(1,7))などを計算することができます．こういう問題はマルコフ連鎖と言います．

お礼

丁寧な回答ありがとうございます。
いろいろな考え方があるんですね。
勉強になりました。ありがとうございました。

回答No.5

TOHOKUEAGLESNO1

戸惑いますね…ちょっと説明不足かなという印象です。

ちょっと考えてきましたが…まあ多分ピックアップされた玉は戻らないんでしょうね。

青球が追加されますから。

仮に赤玉をr(英語のredより）

青球をb（blueより）とでもしますか。

2回目までに少なくとも1回赤が出て、3回目に必ず赤ですから、

r→r→r

b→r→r

r→b→r

の3通りが出ますね。

それぞれ考えて行きましょう。

1、r→r→rの場合。

　　まず1回目は赤3個と青5個です。ここから赤1個とるので

　　確率は3/8・・（１）

(8個から1個とるので全体では取り出し方は8通りあります。これが分母です。赤3個の中から1個とるのでこれが3通り。これが分子。）

　　赤が1個消え、赤2個、青5個となりました。

　　青玉1個追加により、2回目は赤2個、青6個です。

　　ここから赤をとる確率は2/8・・（２）

　　さて、赤が1個消え、赤1個、青6個ですね。

　　また青を追加して3回目は赤1個、青7個となります。

　　ここから赤をとる確率は1/8です。・・（３）

　　（１）（２）（３）を掛け合わせて6/512です。

２、b→r→rの場合。

まず1回目は赤3個と青5個です。ここから青1個とるので

　　確率は5/8・・（１）

　　青が1個消え、赤3個、青4個となりました。

　　青玉1個追加により、2回目は赤3個、青5個です。

　　ここから赤をとる確率は3/8・・（２）

　　さて、赤が1個消え、赤2個、青5個ですね。

　　また青を追加して3回目は赤2個、青6個となります。

　　ここから赤をとる確率は2/8です。・・（３）

　　（１）（２）（３）を掛け合わせて30/512です。

３、r→b→rの場合

まず1回目は赤3個と青5個です。ここから赤1個とるので

　　確率は3/8・・（１）

　　赤が1個消え、赤2個、青5個となりました。

　　青玉1個追加により、2回目は赤2個、青6個です。

　　ここから青をとる確率は6/8・・（２）

　　さて、青が1個消え、赤2個、青5個ですね。

　　また青を追加して3回目は赤2個、青6個となります。

　　ここから赤をとる確率は2/8です。・・（３）

　　（１）（２）（３）を掛け合わせて36/512です。

以上3つの確率を足して（6/512）+（30/512）+（36/512）＝72/512=9/64

でいいはずです。

（ただし、無料サービスなので間違っていても責任は負いかねます。御自身でも頑張ってみましょう)

お礼

具体的な説明ありがとうございます。
順序立ててていねいに考えないといけないですね。
ありがとうございます。

回答No.3

yyssaa

取り出した玉を袋に戻すのか戻さないのか書いてないのかなあ？

お礼

ありがとうございます。
情報はこれだけなんです。

回答No.2

Subaru_Hasegawa

紙に図を描いて計算するだけだから、小学生にでも解ける問題ですな。
で、何が分からないのですか？　問題文の意味が分からなければ日本語を
勉強しなおしましょう。

回答No.1

f272

それぞれの回で赤が何個あって青が何個あるのかわかりますか？