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数学の微分方程式の問題教えてください。
ferienの回答
N=N(t)とおく。 速さdN/dtは、物質量N(t)に比例するから、 dN/dt=aN aは比例定数(a≠0) ∫dN/N=∫adt logN=at+C=loge^C・e^atより、 |N|=e^C・e^at ±e^C=Cとおくと、N(t)=N=Ce^at N(0)=Ce^0=N0より、C=N0 よって、N(t)=N0e^at ……(1) ラジウム226Raの半減期を1600年とするから、 1600年後、最初の量N0の半分になるから、N(1600)=N0/2, (1)より、N(1600)=N0e^1600a よって、N0/2=N0e^1600a より、1/2=e^1600at ……(2) 両辺の対数をとると、 log(1/2)=loge^1600a より、-log2=1600a よって、a=-log2/1600 (1)に代入して、N=N(t)=N0e^(-log2/1600)t ……(3) は答え (3)より、100年後の物質量は、 N(100)=N0e^(-log2/1600)・100=N0e^(-log2/16)=N0・(e^(-log2))^(1/16) (2)より、1/2=e^(1600・(-log2/1600))=e^(-log2) だから、 N(100)=N0・(1/2)^(1/16)=(1/2)^(1/16)N0 最初の量はN(0)=N0だから、100年間で消滅した量は、N(0)-N(100)より、 {N(0)-N(100)}/N0 =[N0-{(1/2)^(1/16)N0}]/N0 =1-{(1/2)^(1/16)} =0.0423……より、 よって、4.2%消滅する。 最後は電卓で計算しました。確認してみてください。
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